数学实验活动让数学概念课妙趣横生—以“认识无理数”为例

广东省佛山市南海外国语学校(528200) 封小波 庞小访

1.前言

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出,“数学教学应根据具体的教学内容,从学生实际出发,创设有助于学生自主学习的问题情境,引导学生通过实践、思考、探索、交流等,获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验,促使学生主动地、富有个性地学习,不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力.在数学教学活动中,教师要把基本理念转化为自己的教学行为,注重启发学生积极思考,当好学生数学活动的组织者、引导者、合作者,激发学生的学习潜能,鼓励学生大胆创新与实践,创造性地使用教材,积极开发、利用各种教学资源,为学生提供丰富多彩的学习素材.”

中学数学实验活动是根据数学教学的需要,在一定的数学原理的指导下,让学生借助一定的工具、仪器和技术手段,对具有一定数学意义的实物、模型、事件,以及数字、图形、式子、题目等,进行观察、测试、度量、计算、归纳、类比、猜想、判断、推广、抽样、检验、逼近、模拟等数学化操作,经历“再发现”的过程,是教师根据教学需要人为地有目的地、模拟地为学生创设积极的思维背景,使学生通过实际操作获得数学体验的活动,其目的是让学生在“做数学”中“学数学”、“用数学”.

本文以北师大版八年级数学上册《认识无理数》为例构建数学实验活动,以期加强数学概念形成过程的教学,提高学生的思维水平,准确把握无理数概念的内涵和外延,让学生经历无理数发现的过程,感知生活中确实存在不同于有理数的数,从而产生探求的欲望,通过一系列的数学活动使学生感受到数学的活力,让数学概念课妙趣横生.

2.数学实验活动设计

2.1 实验探究一：拼正方形之合二为一

如图1是两个边长为1的正方形,你能通过剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形吗?请同学们利用两张正方形纸片完成探索.探索完成后请思考以下三个问题.

(1)设大正方形的边长为a,则a满足什么条件?

(2)a可能是整数吗?请说出你的理由;

(3)a可能是分数吗?请说出你的理由.

实验探究报告一样例

实验设计流程

step1首先让学生拿出课前准备好的两个边长为1的正方形纸片和剪刀,独立思考之后,动手剪一剪,拼一拼,设法得到一个面积为2的正方形.然后再小组交流、讨论,形成共识并对拼图结果进行展示,学生的做法可能有多种如图2所示.

图2

step3 通过以上三问发现归纳出实验结论：任何整数的平方还是整数,任何最简分数的平方还是一个分数.因此,a既不是整数,也不是分数,即a不是有理数.

实验设计意图引导学生通过动手拼图、观察、计算、思考、交流,感受无理数发现的过程,感知生活中存在着不同于有理数的数,即无理数.

2.2 实验探究二：寻找非有理数

1.如图3,请你计算以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?设该正方形的边长为b,则b应满足什么条件?b是有理数吗?

2.如图4是由16个边长为1的小正方形拼成的,任意连接这些小正方形的若干个顶点,可以得到一些线段,试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段.

实验探究报告二样例

实验设计流程

step1首先利用问题1让学生借助勾股定理得出以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是5,该正方形的边长b应满足条件b2=5,然后引导学生根据实验探究一的分析方法进行小组合作交流、讨论,得出2＜b＜3(可提示学生结合直角三角形斜边大于任一直角边以及三角形三边关系得到),从而得出b不是有理数的结论.

step2然后利用问题2引导学生在方格纸上独立思考构造直角三角形,借助勾股定理寻找不是有理数的线段,再小组交流、讨论,达成共识后对部分同学的结果进行展示.

实验设计意图进一步丰富无理数的实际背景,以几何图形为载体,借助勾股定理让学生亲历无理数的寻找过程,体会到无理数在现实生活中大量存在,同时增添知识的趣味性,提高学生的学习积极性.

2.3 实验探究三：感受非有理数

2.请同学们再自行写两个分数,并将它化为小数的形式,观察其小数点后的数字,是否仍具有问题1中发现的规律?

实验探究报告三样例

实验设计流程

step1首先让学生把问题1中提供的几个有理数化为小数形式,引导学生观察这几个小数的特征,得出这几个有理数可以化为有限小数或无限循环小数的形式.

step2 然后利用问题2让学生自行构造分数,并化为小数形式,通过观察发现其仍具有问题1中发现的规律后,再小组交流讨论,让学生感受到不同的分数都能化为有限小数或无限循环小数的形式.从而明确有理数都可以化为有限小数或无限循环小数,同时引导学生发现有限小数或无限循环小数也都可以写成分数的形式.从而得出结论：有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.让学生在脑海中建立有理数与“有限小数或无限循环小数”的对应关系.

step3 最后通过获取新知“无限不循环小数叫无理数.例如我们十分熟悉的圆周率π=3.14159265···就是一个无限不循环小数,因此它是个无理数.”自然就引出了无理数的概念.

实验设计意图

通过让学生动手计算、观察归纳、合作交流,把不同的有理数转化成小数,进而总结出有理数都可以化成有限小数或无限循环小数,从而得出无限不循环小数不是有理数,因为它们化不成整数或分数,也就不是有理数,从而引出新知——无理数的概念.

2.4 实验探究四：构造无理数

1.两人一组,合作进行掷十面体骰子实验：一人负责掷骰子,另一人负责记录骰子掷出的点数.将第一次掷出的点数作为整数位,其后掷出的点数依次写在小数位,即可写出一个不断延伸的小数.请将你的实验数据填写在实验记录表中.如果骰子不断的掷下去,那么将会得到一个无限小数,那么这个无限小数有何特点?它是无理数吗?

2.请观察无限小数 0.585885888588885···(其构造方法为,相邻两个5之间的8的个数逐次加1),那么这个无限小数有何特点?它是无理数吗?你能根据类似方法构造一个这样的数吗?

实验探究报告四样例

实验设计流程

step1首先让学生两人一组,合作进行掷十面体骰子实验,让学生亲身感受掷出的点数是没有任何规律可循的,如果骰子不断的掷下去,那么将会得到一个无限小数,而这样的小数是不循环的,从而得出结论：通过这种方式构造的数是一个无理数.通过这个实验活动使学生经历无理数的构造过程,加深对无理数无限不循环这一特征的认识.

step2让学生通过观察无限小数0.585885888588885···(其构造方法为,相邻两个5之间的8的个数逐次加1)让学生明确,虽然这类小数的数字有规律可循,但却不是循环的,从而也是无理数.最后激励学生利用这种方法去构造一个无理数,使其更加全面的认识无理数的概念.

实验设计意图通过让学生掷骰子写小数,构造像0.58588588···这样的小数,体会无限不循环小数是真实存在的,而且按照以上两种方法很容易就可以构造出来.让学生通过这个实验活动更加全面的认识无理数的概念.

2.5 上机实验—-估算无理数的近似值

为了探索出面积为2的正方形的边长a的值究竟是多少,小明利用Excel软件的计算功能进行了一系列的探索,他的探索过程如下：

首先,他通过实验探究一知道,面积为2的正方形的边长a的大小介于1与2之间,即1＜a＜2.从而获知a的整数部分是1,为了确定a的十分位上的数字,小明利用Excel软件的计算功能分别计算了1至2中的9个数字1.1,1.2,1.3,···,1.9 的平方,如下表 1：

表1

从表1可知1.42=1.96＜2,1.52=2.25＞2,所以,1.4＜a＜1.5.即a的十分位上的数字是4.

紧接着为了确定a的百分位上的数字,小明再次利用Excel软件的计算功能分别计算了1.4至1.5中的9个数字1.41,1.42,1.43,···,1.49 的平方,如下表 2：

从表2可知1.412=1.9881＜2,1.422=2.016＞2,所以,1.41＜a＜1.42.即a的百分位上的数字是1.

······

小明利用这种方法将他的探索结果整理如下表所示：

边长a 面积S=a2=2 1＜a＜2 1＜S＜4 1.4＜a＜1.5 1.96＜S＜2.25 1.41＜a＜1.42 1.9881＜S＜2.0164 1.414＜a＜1.415 1.999396＜S＜2.002225 1.4142＜a＜1.4143 1.99996164＜S＜2.00024449······

小明发现这一探索过程可以永无止境的进行下去,a=1.41421356···是一个无限不循环小数.

请同学们参考小明的方法估计面积为5的正方形的边长b的值,要求结果精确到0.001.

上机实验报告样例

实验设计流程

step1首先让学生独自阅读小明的探索方法,体会逐次逼近法的思想原理,相互交流各自的感悟.

step2给学生演示如何利用Excel软件的计算功能快速的进行计算.

step3指导学生进行上机实验,并完成实验报告.

实验设计意图通过利用逐次逼近法对面积为2的正方形的边长a这一无理数的值进行估算让学生体会无限逼近的数学思想.让学生明白当用“逐次逼近法”来解决一个数学问题时,首先从一个与该问题的实质内容有着本质联系的较大范围开始进行解决,再逐步缩小范围,逐步逼近,以致最后达到问题所要求的解.最后通过让学生进行上机实验求解面积为5的正方形的边长b的近似值这一实践活动,加深学生对无限逼近的数学思想理解.

3.结束语

本文通过设计一系列的数学实验活动,旨在吸引学生自己动手实验、观察发现、猜想验证,合作交流,在已有的对有理数的认知结构上去发现新知识无理数,探索无理数的特征,在实验中让学生感悟数学知识的产生过程,寻找数学问题的规律,以期达到提高学生探究、发现、思考、分析、归纳及创新思维的能力的目的.