浅谈几种主要概率分布的近似关系

刘劭琮

【摘要】我们针对常见的超几何分布和二項分布，通过极限理论证明超几何分布近似于二项分布，二项分布近似于泊松分布，而在一定条件下二项分布和泊松分布都会近似于正态分布，通过这些近似关系，我们在合适的条件下可以有效的估计出一些较难计算的概率。

【关键词】超几何分布  二项分布  泊松分布  正态分布  近似

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）42-0126-01

1.概率理论基础

1.1序列极限的定义

设{xn}是一个序列，若存在常数a∈R，使得？坌ε>0，？埚N∈N，当n>N时，有xn-a<ε，则称{xn}收敛，极限为a。

1.2四种概率分布的定义

二项分布：在相同条件下做n次独立试验，每次试验只有两种结果A或B，其中p=P（A），1-p=P（B），则在n次独立试验中出现A的计数k是一个随机变量X，且P（X=k）=C■■p■（1-p）■，（k=0，1，2，…，n），则X称服从二项分布，记为X～b（n，p），X的期望为np。

超几何分布：设有N件产品，M件次品，从中抽取n件产品，出现Y件次品的概率为超几何分布P（Y=m）=■（m≤maxn，M），Y的期望为n■，事实上超几何分布与二项分布的唯一区别就在于二项分布是有放回的，超几何分布是无放回。我们也可以将Y看成n个服从0-1分布随机变量Yi（i=1，…，n）的和，这里P（Yi=1）=■，但是当i≠j时，Pi与Pj是不独立的。

泊松分布：广泛用于社会生活和物理科学中，比如记录网站访问次数，公共汽车站到来乘客数量，放射性分裂落入某一区域的粒子数量，都服从泊松分布，随机变量Z服从泊松分布P（λ），则P（Z=k）=■e■，（k=0，1，…）。

正态分布：自然界应用最广泛的分布，很多现象都呈现正态分布的形态，大部分分布最后的极限都是正态分布，随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ■），对应的密度函数为p（x）=■e■，-∞

2.分布之间的近似关系

2.1二项式分布近似超几何分布

定理1：当产品数量足够大，且次品率稳定，即■■=p为常数，则■■=C■■p■（1-p）■。

证明：■■

=■■■■

=■C■■■■…■■…■

=C■■p■（1-p）■

2.2泊松分布近似二项分布

在实际应用中，我们常遇到n很大，p很小（一般p<0.1）的伯努利分布，而乘积np的大小适中，此时可以用泊松分布逼近二项分布，而泊松分布的计算形式较为简单。

定理2：在独立试验中，以pn表示结果A出现的概率，与试验总数n有关，如果λn=npn→λ，则当n→∞时，C■■p■■（1-p■）■→■e■。

证明：C■■p■■（1-p■）■=■■■1-■■=■1-■1-■…1-■1-■■，当k固定时■λ■■=λ■，且■1-■■=■1-■■=e■，■1-■1-■…1-■=1，所以■C■■p■■（1-p■）■=■e■。

2.3正态分布近似二项分布

定理3：对于随机变量Xn～b（n，p）（0

通过上述公式我们在n很大的时候可以计算p{t1≤xn≤t2}，证明可以参见文献[3]。

2.4正态分布逼近泊松分布

定理4：对任意正实数t，有■■■=■■e■dx=φ（t）

其中β=■，证明参见文献[3]。

3.分布近似关系的应用

事实上只有在λ很大的情形正态分布才能很好的逼近泊松分布，所以当n很大，而p不大也不小的时候，λ=np较大，此时正态分布能够很好的近似泊松分布。但是泊松分布近似二项分布则需要p很小，此时即使n不是很大也可以近似的很好，但是在这种情况下正态分布很难近似泊松分布，所以也很难近似二项分布。

参考文献：

[1]傅军和.二项分布和泊松分布的剖析[J].统计教育，2006（10）：10-11.

[2]付安民.超几何分布与二项分布的有机联系[J].岳阳师范学院学报（自然科学版），2003（01）：46-48.

[3]于洋.浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系[J].企业科技与发展，2008（20）：108-110.