让条件跃然图上

鲁晓虹

【摘 要】“几何直观”是新课标所倡导的一个核心词，它主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

【关键词】几何直观；标图习惯；图形

浙教版八上第1章《三角形的初步知识》，其中很重要的一块内容是三角形全等，它研究的是三角形的形状、大小关系，对学生来说是一个全新的开始，这章的知识、学习方法、用图意识等掌握好坏情况直接影响后面的特殊三角形、四边形、相似三角形等内容的学习。全等三角形是两个图形之间的关系，所涉及的基本都是组合图形，较复杂，况且要证全等需要三组条件，还要注意对应关系。对于初学者并不是件容易的事情。所以在教学过程中一定要突出基本图形的几何直观意识，时刻将这种意识渗透给学生，帮助他们学会用图形去发现解决问题的思路，学会用图形来理解和记忆三角形全等的判定。

一、例题1：已知：如图1，已知AB=AC，点D、E分别在AC、AB上，且AD=AE。求证：BD=CE。

分析：此图中涉及两个全等三角形，我们可以把涉及三角形从组合图形中分离出来，即把△ABD与△ACE分解出来，然后再把已知条件与隐含条件标注上去，从中寻找符合条件的因素，这样处理非常直观，学生接受起来也水到渠成。

之后我再作了如下变式，让学生自行完成。

如图，已知AB=AC，再添加一个条件________，使△ABD≌△ACE。

本想有了例题教学时进行了正向的、类似的引导、分析、示范板书，再在练习环节安排此题应该问题不大，可事与愿违。竟然有相当部分学生填上BD=CE这一条件，（尽管他们有些也能找出公共角这一隐含条件），巡视及询问做错的同学，有把两个图形分解出来吗？他们的回答是显然的——没有！（其实做对的同学也没有分解图形），条件虽然标注了，但条件多，图形就比较混乱。看来反思是必须的，为什么前一秒讲完，后一秒就错？我之前的处理方法要改进。因为要将两张图分解出来的确有点麻烦，爱偷懒是人之天性嘛！对于这样的题它的条件是对应给出的，那么其实不需要关注两个图形，灵机一动，集中火力攻打一个！在另一个班教学时我做了如下改进：

两个三角形选择一个，在原图中用笔描出来，并把已知条件及隐含条件标注上去，注意：条件也只能标注一个，例如AB=AC，只需标注AB，因为AB才是它的边。（像右图那样标注）

这样处理之后，学生的接受程度较高，正确率也提高了。在本章检测中就有这样类似的题，大部分同学在应用我介绍的方法，之前的“惯犯”也做对了！显然，从复杂中“抽取”简单，让条件跃然纸上，会让直观图形更加直观，更易发现解决问题的思路。

二、例题2：如图：在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上下面有四个条件①AB=DE ②AC=DF ③∠ABC=∠DEF ④BE=CF你从中选三个为题设，余下一个作为结论，可得几个命题？其中真命题有几个？分别给出证明。

对于这题，学生比较容易理解的是判断全等需要三个条件，而这里就是选三个作为条件，另一个作为结论，另外这张图也不需要挖掘隐含条件。对学生来说比较困难的是这题有几个命题，正确的又有几个？学生的分类意识偏弱，不知如何分类；另外图形有两个，又是交错在一起，另外条件有四个，干扰信息较多，所以对于此题，分3个环节处理：

环节一：抓住结论分类，不要抓条件分类，很显然结果有①，②，③，④四种情况，所以命题就有四种。②③④推①；①③④推②；①②④推③；①②③推④；

环节二： 用笔描出△ABC，同时把4个论断中涉及的AB，AC，∠ABC，BE（转化为BC）标出。（如图1）

环节三：将序号①，②，③，④对应标注在图上（这是我认为此题处理比较得当之处），这样借助图形结合序号直接可以判断出哪些是真命题。（如图2）

为检验学生对此类题的方法及分类思想的掌握情况，设置了相应的变式（要求尝试用上面的方法）：

如图，在△ABC和BAD中，现给出如下三个论断：

①AD=BC；②∠C=∠D；③∠1=∠2。请选择其中两个论断为条件，一个论断为结论，构造命题。写出所有的真命题（用“______→______”形式，用序号表示）_________

这题类型没有改变，但难度增加了，因为表面呈现出来的是两个论断作为条件，而全等是需要三个条件的。这需要学生自行挖出AB=BA这一隐含条件，是此题的一个难点所在。

静候5分钟样子，大部分学生完成了此题，他们“学会”了处理例题时的方法，知道了分类并用彩色笔描出其中一个三角形，同时把三个论断标示在图上，命题形式基本上是“①②→③”即由两个条件推出一个结论。当然也有一部分同学不知所措，因为他们知道推导两个三角形全等需要三组条件，但题目中总共才三组，不知如何落笔。在表扬学生标上序号这一行为之后，我根据学生的答题情况作了两点提醒：一是证明两个三角形全等需要几个条件？二是这幅图是哪种类型的基本图形。学生异口同声说道：“假山型”（这是为了便于学生对于基本图形的识辨，我给一些经常碰到的图形进行了命名，像案例一中的图命名为“剪刀型”），这时学生马上意识到“假山型”中有公共边，借机建议学生标上序号④（像图4）（对于标上④是此题我认为处理得当之处）。追问学生，做这一处理之后与上面的例题一样吗？学生似乎有种恍然大悟的感觉：哦，原来真是一样的！

两个案例题型不同，考察的知识相近，所用的思想方法都一样：先描图，从复杂中抽取简单，让图形更加直观；再标图，让隐含条件跃然纸上；然后再把两图转化为一图看是否符合三角形全等的基本事实。如案例2中的变式，将隐含条件AB=BA标注为④，转化之后思路更为清晰，处理方式与前一题几乎一样，让学生体会到其巧妙之处，题变、图变，思路不变！

三、几何直观能力的培养教学的一些建议。几何教学要重视培养学生的逻辑思维能力，但几何直观能力的培养也尤为重要。

1.突出关注对象，排除干扰，化繁为简。

“几何直观”不仅是一个核心概念，而且是培养学生叙述认识图形的一种方法，一种思维的方式。像以上这样的类型题，表面涉及的是两个图形，在自身教学过程中，以前也往往是借助两个图形来分析，这样涉及图形多，条件多，主题自然不突出，学生错误自然就多，而集中在一个三角形中分析，主题非常的突出，只要四个判定方法知道，这类题目如此处理自然是一个好方法。对于后续学习相似三角形，有着重要的影响。而且这种突出关注对象、排除干扰的数学能力是几何学习很重要的一种能力，像综合性较强的几何题，往往是几个基本图形的组合，而此时就需要我们识别出来，分解出来，问题也就迎刃而解。

2.要培养学生合理使用图形的意识。

几何题，多数都有图，而如何使用图，是有讲究、有方法的，像案例1中做错的同学，他也在用图，但没用对，给人家感觉其思维是不清晰的。而我们的教学就是要教学学生如何合理的使用题目中的图形，让图形更加直观，让思维更加明晰。

3.培养学生良好的几何学习习惯。

几何不同于代数，它具有直观性、严密性、逻辑性等特点，如何培养学生良好的学习几何习惯呢？本人认为养成学生的学习习惯包括听课习惯、思维习惯、独立完成作业习惯，其中最主要的是思维习惯。所以对于几何学习，要以图形为核心，以问题为支撑，以思考为导向，形成的一种认识事物的能力。在图形和几何的教学中，根据题意，将题中重要信息标注到图中（平时所说的标图），这样借助条件信息都集中到图形中去，解决问题就比较方便，因为图形直观，注意力集中，思维不容易被干扰。长期这样培养与熏陶，学生的几何学习习惯自然会好，图形应用的意识与能力也自然会增强。

【參考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准.北京师范大学出版社，（2011年版）

[2]杨小丽，刘轶.基于学生需要和认知基础设计与实施教学.数学通报，2015.3endprint