由浅入深，由懂及会

吴韩兴

摘 要 高三复习紧张而忙碌，各种考试层出不穷，就有了大量的试题资源，而反观学生，却还处于似懂非懂，懂而不会的阶段，如何利用这丰富的试题资源，让学生“既懂又会”？本文通过一道高三月考试题的讲评，从学生的最近发展区出发，由浅入深，层层深入，既解决了问题又揭示了本质，从根本上让学生由懂及会。

关键词 懂而不会;挖掘;试题

中图分类号：S222.5+5，C44 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）14-0208-02

在我们的数学课堂中，学生存在着“懂而不会”的现象，究其原因或是教师的讲解不到位，或是学生对该知识并未达到真正的理解呢？事实上，学生自以为的懂，和教师要求的懂之间还有一段很长的路。学生认为的懂多是表象的，是能够看懂这样的操作，或者可以模仿解答问题，而不去思考为什么要这样做，为什么可以这样做？而教师要求的懂包含了会的要求，学生能主动想到方法，并能彻底解决问题。

高三复习会涉及很多典型试题，都会暴露学生的问题——懂而不会。如何用好手头试题，充分发挥试题的利用价值，是提升学生备考水平的关键。

一、课堂实录

（高三月考卷中一道填空题）若，满足，则最小值为_________。分析：此题不难，但从学生的答题情况来看，满分4分只有0.63的平均分，得分明显偏低。

为了利用好这道题，发挥其典型性，从而避免出现类似问题？我的做法是分析该数学问题的实质和学生目前掌握的情况，将问题化归到已经解决的问题上，在学生的“最近发展区”设计问题，便于学生在新旧知识间建立联系和对新知识的理解与建构。以下是我的课堂实录。

第一步，先让学生回顾课堂内讲过的一道比较容易的题，主要是两种解法。

若，满足，求的最大值。

解法一：因为，所以，即，所以。

解法二：因为，所以，所以，因为，所以可解得。

解法一利用基本不等式得到关于的不等式，解法二消元后转化为一元函数求最值问题。

【设计意图】从学生的认知水平出发，能让学生快速找到解决问题的方法，为第二步搭好脚手架。

第二步，观察这道考试题，你能试着用这两种方法解决吗？学生很快得到了如下的解法。

解法一（利用基本不等式将等式转化为关于的不等式，进而求得的最大值）

因为，，所以得到，又由条件可得，令，所以，解得或，因为，所以的最小值为6。

解法二（消元法）

因为，所以（当且仅当，即时取到等号）。

我肯定了学生的解法，其实考试题和平时练习题的方法是相通的。

再进一步追问：利用基本不等式还有其它解法吗？解法二中消元后转化为一元函数，函数与方程是有密切联系的，可否利用方程思想求解呢？请大家再思考。

从而又产生了下面两种解法。

解法三（先配凑，再利用基本不等式）

因为，所以，即，所以。这其实就是基本不等式法，只不过要先配凑，有一定技巧性。

解法四（用方程思想）

令，所以，代入条件可得，所以该方程有正根，设为，所以，解得，所以的最小值为6。该解法是受到了解法二的启发。

这时又有学生有了新想法：

令，则原条件可化为：，所以或（舍），此时，所以的最小值为6。

该生的答案是对的，我就追问：为什么想到令？

学生回答：做到过很多类似题目都是两个字母相等时取到最值，这题也是如此。

我再问：为什么6不是最大值呢？

学生回答：没想过，这题是求最小值就写了6。

这时我让学生思考，是不是所有这类题都可以这样做？

我给出了这道题的变式：若，满足，求最小值。

学生方法一：令，解得，解得的最小值为。

学生方法二：消元法，过程略，可解得当，的最小值为。

学生方法三：方程思想，过程略，可解得。

方法二、方法三的答案一样，很明显方法一中令得到的最小值不正确，由方法二可知取到最小值时，并不相等。通过这道变式题，解决了学生盲目去凑答案，也使学生弄明白了错误的原因。

【设计意图】在第一步的基础上来解决试题水到渠成，让学生体验成功的喜悦。鼓励学生畅所欲言，敢于讲出自己的想法，教师能及时捕捉意外的生成资源，因势利导，让学生明白数学在凭经验猜想的基础上，还要有严谨的证明。

第三步，为了让学生进一步掌握该类题型的一般做法，我给出了题组，课后进行巩固。

1.若，满足，则的取值范围为_____。

2.若，满足，则的最小值为_____。

3.已知正数满足，则的最小值为____，的取值范围为____。

4.已知正数满足则的最小值为______。

【设计意图】题组的设置能让学生再碰到此类题型时能做到心中有数，万变不离其宗。

二、案例评析

这道试题的讲评先通过初始问题的引领，帮助学生找到解决这类问题的方法，虽然题目简单，但其解法卻能触及知识的本质，可以在教学中起到统帅作用。其他题目虽然和初始问题有差异，但是利用函数与方程思想、基本不等式来处理的方法触及了这类问题的本质，因而依然有效。

如果这道题只是从基本不等式这个角度去分析，教学方法太单一，对高三复习课而言综合性不够。我们应该通过这道题，发掘它的功效，比如解法二中消元的方法，解法四中利用方程的方法，利用了函数与方程的思想，把问题转化为我们较熟悉一元函数问题或一元二次方程问题，反而题目的求解更简单了。通过这样教学才能使学生在数学方法和数学思想上得到全面的锻炼，通过函数的思想方法去解决这道题就比利用基本不等式的方法在数学的理解上就更高一层次了。根据新课标，函数的思想方法应贯穿高中数学课程的始终。

对于近几年比较热门的二元二次等式为约束条件下求二元一次式的最值的常用解题策略（降元法、升幂法、换元法）在本节课也充分得到了体现。

三、后记

就这道题而言，这样教学应该是比较到位了，但题目的形式千变万化，为了提高学生对新问题的处理能力，从而使学生的思维能力得到进一步的锻炼，我觉的还应该在课堂中补充一些题。例如已知满足，求的取值范围。该题若采用利用基本不等式将等式转化为不等式的方法，可以这样去思考：原条件可化为，因为，，两个不等式等号不可能同时取等号，所以，取不到等号，很明显这个方法不对。

事实上利用基本不等式可以这样去组合，，化简可得，解得。这里要从目标出发，进行合理组合。该题若采用消元法去解，因为很难消去一个元，中一个用另一个表示比较难，放弃这种做法。该题若采用方程思想，可以这样去解：令，则，代入转化为关于的一元二次方程，利用该方程有正根可解得。

教师在平时的试卷分析（或作业讲评）中应关注并分析学生在某类问题解决中的思维缺陷，并引导学生自己总结对该类问题的一般方法。从教师方面来讲，教师的讲评要做到以点带面，透析问题的本质，将具体问题进行拆分，搭建脚手架，让学生能挑一挑就够到桃子。对试题能进行多方变式，多方设疑，锻炼学生的临场应变能力。

“工欲善其事，必先利其器”，高三复习千头万绪，以试题为抓手，借题发挥，举一反三，触类旁通，借助问题载体，巩固知识方法，积极反思，最大限度地挖掘其内在价值，促进科学有效的备考。

参考文献：

[1]孔德鹏.活动促进经验生长，变式引发深度学习——高三复习课“基本不等式”的教学.中小学数学（高中版），2017-12-25.