“点在曲线上”的问题探究

施振伟

[摘 要] 解析几何题在江苏高考中处于中档题位置，其方法灵活多变.解几题最大的难度在于计算方向的选择，如果能够找准计算方向可以达到事半功倍的效果.解几问题常出现“点在曲线上”的情况，对于此类问题可以设直线与曲线方程联立求点或利用一元二次方程根与系数之间的关系求解；也可以通过设点列方程组通过消元得到所求变量；甚至可以利用曲线所特有的几何特性处理.

[关键词] 点在曲线上；几何角度；设线；设点

点在曲线上的问题是近几年江苏高考解析几何题型中的热点问题，该问题处理方法多样，计算方法灵活多变，值得教师学生细细品味. 下面，笔者通过典型例题具体说明.

例：如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=5，过点M（1，0）作直线l交圆C于A，B两点，其中点A在第一象限，且=2，求直线l的斜率.

思路一：由于是直线和圆的问题，可以先从几何角度去考虑，可以构造直角三角形，通过计算圆心到直线的距离，求出直线l的斜率.

解法一：连接OA，OB，作OH⊥AB交直线AB于点H，如图2所示. 设OH=x，由=2，且OA=OB可得：=3，所以=3，所以x=.

设直线l的斜率为k，所以直线l的方程为：

？摇？摇？摇？摇kx-y-k=0（k>0），所以=，故k=1.

解法一体现几何法是在解决直线和圆问题的主要方法，然而如果将本题改为椭圆背景的问题，几何法不一定适用，此时可以通过代数法处理.

思路二：利用方程思想结合点在圆上的条件，可以将点A或点B的坐标解出来，从而求出直线l的斜率.

解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），由=2，M（1，0），可得：1-x2=2（x1-1），-y2=2y1，所以-x2=2x1-3，-y2=2y1.

因为A，B均在圆O上，

所以（2x1-3）2+（2y1）2=5，x+y=5.

解得x1=2，y1=1，

所以直线l的斜率为kAM=1.

思路三：结合思路二，可以结合一元二次方程根与系数的关系，将直线l的方程与圆O的方程联立，通过韦达定理进行计算.

解法三：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=my+1（m>0），

联立圆O的方程：x2+y2=5，可得：（1+m2）y2+2my-4=0，

所以y1+y2=，y1·y2=.

由=2，M（1，0），可得-y2=2y1.

由y1+y2=，-y2=2y1，可得y1=，y2=，

所以y1·y2==，

解得m=1，所以直线l的斜率为=1.

通过例题的三种解题思路可知：对于“点在曲线上”的问题一般可以从几何和代数两个角度去思考，计算的时候可以通过方程组求在曲线上的点的坐标或利用韦达定理处理. 解题时应根据具体的曲线背景和题目中的条件合理地选择最佳的解题方法. 下面笔者结合两个练习题对方法的选择做进一步探究.

练习1（2017年南通市二模考试17题第二问）如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1？摇（a>b>0）的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点，A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且=，求直线AB的斜率.

思路一：由条件=可得点B与点C的纵坐标关系为1∶2，通过将直线AB，OC的方程分别与椭圆方程联立计算B与C的纵坐标，从而得到直线AB的斜率.

解法一：因为椭圆的离心率为，所以=，即=，

所以椭圆的方程为+=1，即5x2+9y2=5a2.

设直线OC的方程为x=my（m>0），B（x1，y1），C（x2，y2）.

由x=my，5x2+9y2=5a2，得5m2y2+9y2=5a2. 又因为y2>0，所以y2=.

因为=，所以AB∥OC. 可设AB的方程为x=my-a.

由x=my-a，5x2+9y2=5a2，得（5m2+9）y2-10amy=0. 又因为y1>0，得y1=.

因为=，所以y2=2y1，即=（m>0），所以m=.

所以直线AB的斜率为=.

思路二：由条件=可得点B与点C的坐标之间的关系，分别代入椭圆方程可求出点B或点C的坐标，从而得直线AB的斜率.

解法二：因为椭圆的离心率为，所以=，即=，

所以椭圆的方程为+=1，即5x2+9y2=5a2. 设B（x1，y1），C（x2，y2），

因为=，得（x1+a，y1）=x2，y2，所以x1=x2-a，y1=y2.

因为点B与点C都在椭圆5x2+9y2=5a2上，

所以5x+9y=5a2，5x2-a+9=5a2，

解得x2=，y2=，

所以直线AB的斜率为.

练习2（2014年南通市一模考试19题第二问）如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+y2=1的内接四边形ABCD （点A，B，C，D在椭圆上）的对角线AC，BD相交于点P1，？摇，且=2，=2，求直线AB的斜率.

思路：由条件=2，=2可知AB//CD，故要求直線AB的斜率，即从点在曲线上的条件寻找x1，y1，x2，y2之间的关系.

解：设A（x1，y1），则+y=1.

由=2，得C，.

代入椭圆方程+y2=1，得+=1.

整理，得+y-（x1+y1）-=0，

即x1+y1=-.③

设B（x2，y2），同理可得x2+y2=-. ④

③-④，得=-1，即直线AB的斜率为k==-1.

？摇？摇对于点在曲线上的问题解法多种多样，最关键的是要根据题目的条件选择最佳的解决方案，一般利用几何法和代数法都可以解决，但真正在限时训练时要更注意方法的选择和计算的方向.endprint