用相对性原理理解电场和磁场

曾永志 黄碧华

(福州大学物理与信息工程学院， 福建 福州 350108)

我们从小就被教育如何使用“发明”和“发现”这两个词汇。比如，我们说：牛顿“发现”了万有引力定理，法拉第“发现”了电磁感应定律，等等，也就是说，“发现”主要用在描述“科学”的范畴，因为科学规律本来就存在，只是以前的人们没有发现而已。“发明”这个词汇的用途就不同了，比如，瓦特“发明”了蒸汽机，爱迪生“发明”了电灯，等等，也就是说，“发明”主要应用在描述“技术”的范畴，被“发明”的东西以前是不存在。

但是，从更深的层次考虑，科学定理也应该用“发明”这个词汇。比如，牛顿“发明”了一套“万有引力”的解释系统，用来解释两个物体相互环绕的现象，也就是说，万有引力是被牛顿发明出来的，用这样的方法能够非常简明地解释物体之间的相互作用。同样的问题，爱因斯坦就不认为物体之间存在着引力，而是采用质量引起空间弯曲的方法，同样能够解释物体之间相互环绕的现象。

现在，我们从不同的角度来看看电场和磁场的问题。

1 电磁场的相关性

我们知道，静止的电荷产生电场，而运动的电荷产生磁场，可以用下面的公式表示[1]：

(1)

其中,r为电荷与观测点的距离;为电荷运动的速度。

但是这两个公式与相对性原理存在着矛盾，所谓的相对性原理，就是“任何物理定律在任何参考系中都具有相同的形式”。换一句比较通俗的话，就是在任何人的眼中，物理现象大致相同。仔细考量一下式(1)，就可以发现与相对性原理矛盾的地方。比如，我们测量一个和我们相对静止的电荷，此时，我们只能测量到电场，而没有磁场。但是，如果我们一边跑，一边进行测量，这时，对于我们来说，这个电荷具有运动速度，此时我们不仅能测量到电场，同时也能测量到磁场。这就是说，“站立的我”和“奔跑的我”对于同一个电荷进行测量，产生了不同的结果，也就是说“站立的我”和“奔跑的我”看到了两个不同的世界。

电场、磁场是不是一种不依赖于我们主观意识的客观实在？还是仅仅只是我们的心理图像？那么，哪些物理量在不同参照系中是不变的；哪些仅仅是我们为了描述的方便而引入的参量，这些参量在不同的参照系中，有不同的表现。

相对性原理认为：物理规律在惯性系下具有不变性，也就是说，在不同参照系上的人都会在同样“物理输入”的情况下，得到同样的“物理输出”。比如，“物理输入”为一个带电粒子相对于某个参照系以速度匀速运动，“物理输出”为该粒子的运动轨迹。在不同参照系的观察者应该在粒子运动轨迹上取得一致意见，而至于如何解释粒子的运动轨迹，也就是粒子受到作用力的来源可以各不相同，粒子受到的可以是电场力，也可以认为是磁场力。

为了更清楚看清这一点，我们考虑一个例子。一个电子沿着平行于直导线匀速向右运动，导体中的电流方向向左，如图1所示。为了方便讨论，我们做两点假设：①导体中的电子与导体外的电子具有同样向右的运动速度；②在以导体为参照系(该参照系设为Σ)中，导体处于电中性，也就是，导体中的正离子密度和电子密度相等，即λ+=λ-。

在Σ中，在导体外面，磁场的方向如图1(a)所示。导体外的电子受到方向指向导体磁场力的作用，电子将作类似平抛运动，电子与导体之间的距离将减小。如果我们以电子为参照系(设为Σ′)，这时，根据我们假设①，导体中的电子处于静止状态，而正离子以速度v向右运动，导体中同样出现了向右流动的电流，在导体周围产生的磁场，如图1(b)所示，由于导体外的电子处于静止状态(v′=0)，并没有受到磁场力的作用，电子在垂直于导线方向没有加速度。但是，根据相对性原理，我们还应该看到电子与导体的距离应该变小，电子作类似平抛运动，也即导体外电子同样应该受到指向导线的作用力。那么，电子是否受到垂直于导体方向的力呢？

图1 无限长载流直导线与电荷之间相互作用(a) 以导体为参照系； (b)以电子为参照系

由于带电粒子只可能受到两种力：电场力和磁场力。既然没有受到磁场力，我们可以预测在Σ′系中，可能还会出现电场，电子会受到指向导体的电场力作用，从而作类平抛运动。

为了理解这一点，我们从相对论的一些结论出发。在狭义相对论中，由于物体运动会在运动方向引起长度收缩，也就是洛伦兹收缩

(2)

可以发现，不同参照系的观察者在电场强度和磁场强度方面无法取得一致的意见，对于带电粒子是受到电场力还是磁场力也有不同的看法，也即，电场和磁场就像硬币的两个面，在一个参照系中表现为纯磁场，而在另一个参照系中，却变成电场和磁场的混合体。但是，他们一致同意导体将产生某种场(电磁场)，这种场使得导体外电子受到指向导线的作用力，这样的作用效果与参照系无关的。这样，电磁场基本理论就和相对性原理自洽了。

在电磁场中，一个带电粒子的受力可以用洛伦兹公式来计算：

Fem=Fe+Fm=q(E+×B)

(3)

2 电磁场变换

在不同的参照系中，电磁场的变换公式为[3]

(4)

我们利用这组公式来计算几个非常熟悉的问题。计算步骤为：

(1) 计算Σ系的电磁场(利用电磁学的公式)；

(2) 计算Σ′系的电磁场(利用电磁学的公式)；

(3) 利用式(4)，验证上面两个步骤得到的电磁场自洽。

例1 速度选择器，这是我们从中学开始就非常熟悉的例子。在一个矩形箱子中同时存在电场和磁场，求当带电粒子q的速度v满足什么条件时，粒子可以直线穿过矩形区域。

图2 速度选择器

解 设矩形区域为Σ系，要使得带电粒子沿直线穿过矩形区域，必须电场力等于磁场力，即Fe=Fm，可以得到

在带电粒子参照系(Σ′系)中，根据相对性原理，q也应该不受到电磁力的作用。因为在Σ′系中，q的速度为零，没有磁场力，因此，q受到的电场力也应该为零，因此电场强度E′=0。

现在应用式(4)验证以上的结果：

在Σ系：

E=(0,E,0),B=(0, 0,E/v)

根据式(4)，容易得到Σ′系中的电场强度

E′=(0,0,0)

可以发现，与直接用电磁场得到的结果一致。当然，根据式(4)也能得到Σ′系的磁场强度

因此，在Σ中，同时存在电场和磁场的混合体系，在Σ′系中，变成了纯磁场体系了。

例2 一根导体棒在均匀磁场中向上作匀速运动，如图3所示，分析其受力情况。

图3 磁场中运动的导体棒(a) 以实验室为参照系； (b) 以导体为参照系

解 在实验室的参照系(Σ系)当导体棒开始运动时，导体中的电子受到向右的磁场力，大小为

Fm=evB

电子将向右运动，使得导体棒右边形成负电荷的积累，同时导体棒左边出现正电荷。到达平衡后，导体内电荷受到的电场力与磁场力相等，即

eE=Fe=Fm=evB⟹E=vB

电场方向沿着z轴正方向。电场可以写为E=(0,0,vB)，磁场B=(0,-B,0)。

如果采用导体的参照系(Σ′系)，当导体棒开始运动时，导体棒中的电子始终处于静止状态，受到的磁场力为零。那么，是什么力驱使电子向右运动？利用式(4)，可以得到

即，E′=(0,0,0)，利用式(4)容易得到导体内部的磁场强度

可以发现，在Σ中为电场、磁场混合体系，而在Σ′系中却变成纯磁场体系了。在两个不同的参照系中，尽管观察者对场的性质有不同意见，对引起电子运动的原因却有着完全不同的解释，Σ系的观察者认为电子受到了磁场力的作用，而Σ′系的观察者却认为电子受到了电场力的作用。但是他们都同意：电子向右运动，从而引起导体棒右端出现负电荷，同时在左端出现正电荷。这个例子再次说明了物理规律是与参照系无关的，至于如何解释物理现象倒是与选择的参照系相关。

例3 有一个均匀带电无限大的平板，与实验室处在相对静止的状态(Σ系)，其面电荷密度为σ0，在另一个沿着x方向以速度v匀速运动的参照系(Σ′系)。分别在这两个参照系中计算各自的电场强度和磁场强度，并用式(4)进行验证。

解Σ系中，根据对称性分析，电场强度E=(0,Ey,0)为[1]

在Σ系，电荷处于静止状态，因此，磁场强度为零，即B=0。

Σ′系中，相当于平板向-x方向运动，如图4(b)。此时，在x方向将出现洛伦兹收缩，从而引起面电荷密度的增加，面电荷密度变为σ′=γσ0。

图4 均匀带电平板(a) 以实验室为参照系； (b) 以导体为参照系

由于平板的运动，出现了沿-x方向的面电流，面电流密度大小为α′=σ′v=γσ0v。

其中用到ε0μ0=1/c2，当y<0时，取正号；y>0时，取负号。

下面利用式(4)验证以上的结果。电场部分为

磁场部分为

可以看到，用电磁学的方法和用相对论变换的方法得到的电场和磁场关系的表达式相同。

3 电磁场的不变量

在人们探索自然界中，有两条不同途径构建了整个物理学的大厦。第一，寻找不同物理量之间的关系，比如，牛顿第二定律、洛伦兹力公式、麦克斯韦方程组等。第二，寻找在同一个物理过程不同阶段的“守恒量”、一个物理过程的“最小量”、同一个物理过程在不同参照系中的“不变量”，比如，能量守恒定律、动量守恒定律、最小作用量原理，电荷不变等，在变幻莫测的现象中，追求一个不变的规律，正是人们最原始的冲动。

根据相对论，电场和磁场可以构成两个洛伦兹不变量[3]

我们用这两个不变量去验算一下前面的3个

例子：

4 结语

通过上面的讨论我们发现，只有将电场、磁场看成一个整体才能够完整地描述电荷的相互作用，电场和磁场在不同的参照系中有不一样的比例。因此，可以认为电场、磁场互为相对论效应，只有这样，才能使得电场和磁场的计算方法与相对性原理自洽。

[1]ZHAOKaiHua,CHENXimo.Electromagnetics[M]. 3rded.Beijing：HigherEducationPress，2011.

[2]FEYNMAN.LecturesonPhysics,VolumeⅡ[M].Beijing：Addison-WesleyPublishingCompany，2009.

[3]GUOShuohong．Electrodynamics[M]．Beijing：HigherEducationPress， 2009.