刚性背衬条件下覆盖层弹性对水下爆炸冲击波载荷的影响规律

张林芳，黄修长，金泽宇，谌 勇

（1.海军驻北京地区武备配套军事代表室，北京 100073；2.上海交通大学 振动冲击噪声研究所，机械系统与振动国家重点实验室，上海 200240）

炸药水下爆炸形成球形冲击波，当爆炸点和结构之间有足够远的距离，即流体粒子速度远小于声速vw<

敷设了较软的覆盖层的舰艇在受到水下爆炸冲击作用下会产生空化效应。流固耦合作用产生空化，而空化也会反过来影响流固耦合作用。Kennard[9]运用双线弹性流体假设，在理论上描述了空化效应。他发现当流体压力降低到空化极限压力时，流体会发生空化，而空化的边界或者形成以超声速传播的破水波，或者形成保持静止的自由表面，或者转化为以亚声速传播的重构波。Bleich和Sandler[10]采用特征线法分析了浮在流体表面刚性板受到水下爆炸载荷作用时的响应，其中流体采用了双线性模型。Deshpande和Fleck[6]在分析夹芯板水下爆炸响应的解析模型中，提出考虑芯层压缩的Taylor板模型处理流固耦合及空化效应，该模型能够准确地预测初始空化形成时传递到夹芯板的冲量，但是其对后续波传播效应的估计有所欠缺。之后，Liang等[7]建立了更详细的考虑流体空化的解析模型。在他们的模型中，初始空化发生在距离湿表面有限距离位置，然后空化向两个方向扩展。当破水波不再向湿表面传播时，靠近湿表面的空化流体将形成重构波。这个模型由于叠加了初始空化位置和湿表面之间这部分水的动量，能够准确预测传递到前面板的总冲量。近来，Schiffer等[8]基于Kennard的理论，采用理论方法研究了弹性支撑的刚性板的水下爆炸响应问题，该方法用显式求解破水波和重构波的传播以及其与结构相互作用，清楚地展现了空化的形成、发展以及它们对结构的影响。

解析模型可以更清楚地揭示潜在的物理规律，而且能够更方便地进行参数分析。因此，本文通过建立冲击波在不同介质中传播的解析模型，考虑流固耦合效应、空化效应，分析不同覆盖层阻抗对输入冲击载荷的影响规律。

1 理论计算模型

1.1 水下冲击波在弹性介质中传播的解析模型

假设覆盖层为线弹性，当覆盖层粒子速度远小于覆盖层声速时，可以将覆盖层中的冲击波近似为声波。当水中冲击波pin(t)传播到厚度为hc的覆盖层时，由于阻抗失配，波在湿表面发生反射和透射，如图1所示。

pwet-r(t)和pwet-tr(t)分别表示反射波和透射波，ρw和cw分别表示水的密度和声速，ρc和cc分别表示覆盖层的密度和声速。假设水和弹性覆盖层的声速为常数。根据声学波动理论，在水和覆盖层交界面上压力和粒子速度连续。

图1 冲击波在覆盖层中传播示意图

水和覆盖层的波阻抗分别表示成Rw=ρwcw和Rc=ρccc，反射波和透射波可以显式给出

其中：r和s分别为反射和透射系数，分别为r=(Rc-Rw)/(Rc+Rw)和s=2Rc/(Rc+Rw)。此处覆盖层用压力而不是应力建立方程是为了保持水和覆盖层的一致性。

考虑到覆盖层为有限厚度，透射波将在覆盖层后面反射。反射和透射将持续，直到冲击波结束，如图2所示。

图2 冲击波在覆盖层中传播示意图

为了获得湿表面的压力，需要计算所有从覆盖层透射到水中的波。记通过时间为ts=hc/cc，用来描述冲击波在厚度为hc的覆盖层中传播一次所用的时间，冲击波在覆盖层中传播m次的时间为tm=mts。坐标原点取在覆盖层的前面板和流体交界面处，正方向指向覆盖层，流体区域为x≤0。

当t=0时，初始反射波对湿表面压力起作用，可以表示为

当t=t2m，对于m=1,2,…，对湿表面压力有新贡献的波表示为

其中下标w-c、c-w与c-b表示波的传播方向；c-w和c-b表示波从覆盖层向水或后面传播；w-c指波从水向覆盖层传播。pin(t-t2m)中t-t2m表示入射冲击波pin(t)压力曲线向t轴正方向平移t2m。对于刚性背衬，rc-b=1，sc-b=2。当t2m≤t

其中：m为非负整数。湿表面压力为正方向传播和负方向传播的压力波的叠加

在t时刻，湿表面的速度为

以上公式推导独立于输入冲击波形。在接下来的分析中，假设输入冲击波为指数衰减波伴随一个可忽略的冲击波前上升时间tr。

其中：tr<

1.2 空化形成和演化

与固体能够承受拉应力不同，如果压力低于空化极限水将发生空化。一般地，对于蒸馏、除气、除氧、过滤的水，能承受的拉伸极限能达到9 MPa[11]。然而，对于海水或者湖水时，这个极限压力几乎降低为零。本节理论推导假设空化压力为零。

空化的发生是流固耦合效应导致的结果。当冲击波到达湿表面，湿表面产生一个向x负方向传播的反射波。之后从覆盖层透射到水中的波以跳跃的方式改变着水中的压力和速度分布。这些分布可以表示成

在某一时刻t，如果pw<0，水将产生空化。接下来的物理过程可以分为两个阶段：(1)空化形成和破水波的传播；(2)重构波的传播。

阶段I：空化形成和破水波的传播

将在水中位置x处发生空化的时间记为tBF(x)，空化时间可由隐式方程求得

将空化时间代入式(10)中，可以得到对应的空化流体粒子速度

由于空化流体的压力梯度为0，因此空化速度是关于时间独立的。只要空化条件成立，这个独立的性质就始终成立。

将初始空化的位置和时间分别记为xf和tf，这两个参量可以通过求tBF(x)的最小值得到。在发生空化后，t＞tf，形成两个破水波以超声速分别朝向和背向湿表面传播。根据Kennard[9]的结果，在发生空化以后，破水波能够在水中传播的条件为

其中：xBF表示破水波波头当前位置。在这些表达式中，导数是在破水波前面的未空化流体中计算得到的。针对单层弹性覆盖层水下爆炸响应的问题，在t≥tf时，这些条件对于向x轴负方向传播的破水波一直成立。但是初始空化诱导的破水波不能向x轴正方向传播。图3(a)给出了对于弹性覆盖层的一个典型空化的具体过程。

阶段II：重构波的传播

破水波一旦产生就一直保持传播直到无法满足破水波传播条件式(13)。之后空化边界将保持静止或转为重构波在空化区域中传播使气泡闭合。实际上，静止边界一般不会保持很久，大多很快转化为重构波。

设重构波波头当前位置为xCF，朝向空化区域和背向空化区域传播的波列为pCF,in和pCF,out，如图3(b)所示。在重构波波头处，计算未空化流体中的压力pCF和粒子速度vCF，可表示为

其中：vCF,in和vCF,out为与波列pCF,in和pCF,out相对应的粒子速度。pCF,in是覆盖层反射波传播到空化闭合界面的压力波，pCF,out是从空化闭合界面向覆盖层辐射出的压力波。在这里，所有方程都是基于x轴正方向指向覆盖层后面的全局坐标系。

重构波传播的条件由Kennard[9]给出

图3 弹性覆盖层空化的形成和发展示意图

其中：vcav由式(12)给出，参量η(x,t)表示空泡所占的体积分数。由质量和动量守恒可得

其中：cCF=dxCF/dt表示重构波的速度，xCF(t)表示重构波的当前位置。

结合式(14)、式(16)与式(17)可得

其中中间参量λ=2pCF,in/(ρwcw)+vcav。

2 方法验证与结果分析

本节将1.1小节和1.2小节的理论模型运用MATLAB编程表示，选取不同属性和不同背衬条件的覆盖层，通过与ABAQUS计算结果对比，来验证解析结果的正确性，同时分析了改变覆盖层参数对压力与速度时程曲线和流体空化的影响。定义无因次参数这样影响空化的参数除了覆盖层后面的边界条件外，只有两个参数：无因次波阻抗和无因次通过时间。

2.1 有限元建模

图4给出了有限元模型的示意图。

图4 ABAQUS/Explicit中的有限元模型

有限元模型中，覆盖层是线弹性的，其密度为ρc，弹性模量为Ec，泊松比为μc。湿表面约束为Tie（ABAQUS）。对于一维纵波的传播，声速、弹性模量和泊松比的关系

为了验证解析模型，简单地设μc=0，弹性模量变为并根据不同问题选取不同ρc、cc。水模拟成声学介质，其体模量为Kw=2.25 GPa，密度为ρw=1 000 kg/m3，声速为cw=1 500 m/s。

空化效应通过ABAQUS中的全波解来实现。入射波加载在水的左边自由端，源点选在流体外，而参考点选择在流体无反射边界处。峰值为p0、上升时间tr、衰减系数θ的压力波用列表方式输入。除了特殊说明的情况，参考冲击波的压力特性p0=10 MPa、θ=0.5 ms。空化极限为零，且水中静水压力场足够小。边界条件根据所求问题，本文考虑在覆盖层后面设定为刚性边界。

流体的建模长度Lw足够长，以避免重构波传播到建模长度以外。如果重构波传播到计算域以外，无反射边界将强制使空化闭合辐射出的压力波为零，从而导致覆盖层响应求解出现误差。水长度取10 m已足够用于这里研究的所有问题。选取ABAQUS中AC2D4R单元和CPE4R单元分别离散水和覆盖层。在压力波传播方向的单元尺寸lew与lec分别选取0.1 mm，而在水和覆盖层宽度方向上用1个单元离散。

2.2 压力和速度时间历程

这里研究了4组不同的无因次参数和，选取的参数由表1给出。湿表面的无因次压力和速度分别在图5(a)、图5(b)、图5(c)、图5(d)中给出。

表1 有限元仿真模型选取中的无因次波阻抗和通过时间

总的来说，由图5可以看出，所有的压力时间历程的解析结果和有限元计算结果吻合得很好。虽然空化闭合辐射出的波在湿表面空化以后会再次达到湿表面（图5(b)、图5(c)），但它们相比于初始阶段的压力波可以忽略不计。解析预测的工况1和工况4的湿表面速度和有限元仿真结果吻合很好，而预测的工况2和工况3的结果在湿表面空化以前吻合很好。在湿表面空化以后，解析结果不能够准确地预测后续响应。这是由于当空化传播到湿表面，湿表面水的密度和声速将随着η（由公式(15)定义）的改变而改变。水的常波阻抗假设不再适用，在空化传播到湿表面后影响了解析解对湿表面粒子速度的预测。

2.3 重构波和破水波的传播

图5 无因次湿表面压力和速度时间历程解析结果和有限元结果

通常，如果空化闭合辐射出的波和湿表面相互作用，空化的作用显著。对于刚性背衬和气背衬，当无因次阻抗＜1时，空化的作用明显。由于湿表面空化之前刚性背衬和气背衬的空化作用相近，因此，这里主要讨论刚性背衬情况下重构波和破水波的传播。

图6给出了用解析解和有限元预测的刚性背衬下初始空化的时间、位置，以及初始空化后破水波和重构波的传播。另外，从重构波辐射出的压力波的时间历程也在图中给出。如图6(a)所示，曲线上的五角星表示初始空化的位置和时间从五角星分出两条曲线，分别对应破水波和重构波。破水波和重构波开始分别以超声速和亚声速传播，并最终以趋向于声速cw向远离湿表面的方向传播。注意到图6(b)中的pCF,out(x,t)可以在某些位置为负，这可以理解为：由于空化相当于水汽化，其阻抗小于水，水中的压力波与阻抗小于水的介质相互作用，其反射系数小于0。当作用到空化闭合界面的压力波（pCF,in(x,t)）大于0时，其反射波（pCF,out(x,t)）就会小于0。如果pCF,in(x,t)和pCF,out(x,t)的叠加在重构波和结构之间小于零，新的空化将形成。但是，这个新形成的空化的作用没有初始空化的作用明显，故忽略其效应。

3 覆盖层特征参数变化对抗冲击性能的影响规律

本小节利用考虑空化的波在多层介质中传播的模型分析在刚性背衬和气背衬条件下，覆盖层无因次波阻抗和无因次通过时间变化对覆盖层抗冲击性能的影响规律。其中传播到覆盖层的冲量和峰值压力为衡量覆盖层抗冲击性能的两个主要参数。

运用传递到覆盖层前表面的总冲量来评价冲击波对结构的影响并不全面，这是由于这样考虑不能区别在很短时间内传递到覆盖层前表面的冲量与长时间内传递到覆盖层前表面冲量相等的情形。一般地，减弱冲击影响的一种策略就是将短时高压的冲击波转换为长时低压的冲击波。这里，定义无因次局部冲量

其中参考冲量I0定义为I0=2p0θ，表示输入指数衰减冲击波作用到刚性边界的总冲量，选取积分时间为5θ是由于在此时刻，输入冲击压力已经衰减到0.674%的峰值压力。

刚性背衬条件下覆盖层无因次波阻抗和无因次通过时间对湿表面无因次峰值压力和无因次冲量的影响如图7所示。图7(a)中给出无因次峰值压力与不同无因次波阻抗和不同通过时间的关系。一般来讲是的增函数，是的减函数。但是，这个趋势对于改变并不是单调的。在一些区域，无因次峰值压力可能超过刚性板能达到的最大值2。这是由于叠加的压力包含了正的1-wave。可能超过2的区域被两个曲线包围：Γ1和Γ2。其中Γ1代表了峰值压力由0-wave决定的曲线，可由下式给出

图6 刚性背衬下无因次波阻抗的影响

Γ2代表了峰值压力由1-wave决定的区域与峰值压力由m-wave(m≥2)决定的区域的交界线，可由下式给出

图7 无因次参数变化的影响规律

1-wave可能导致出现最大的峰值压力，这个压力为

图7(b)给出了无因次参数和变化对传递的局部冲量的影响。传递到覆盖层的局部冲量对于＜1的情形有很大不同。随着增加，降低。这个趋势是由于覆盖层的储能能力随着增加而增加，之后储存的能量将逐渐释放。传递到覆盖层的局部冲量随着的增加而增加。注意到当＞1且=1时，可能超过1。这种情况对应于覆盖层响应属于工况2的情况，此时空化发生在湿表面，截断了从覆盖层辐射出的负的压力波。

4 结语

基于波动理论，提出了一维远场冲击波在覆盖层中传播的理论计算方法，并考虑了空化效应。通过将解析结果与有限元计算结果对比，发现解析解能够精确捕捉各个介质界面的压力，很好地预测了破水波、重构波的传播以及湿表面压力和粒子速度，相比于有限元计算方法提升计算精度和效率。根据分析结果，可以得到关于破水波和重构波传播的一些结论以及覆盖层无因次参数变化对覆盖层响应的影响规律，如下：

（1）与刚性板的结果不同，在初始空化后，破水波不能向湿表面传播。但是由于压力波的间断特征，对于刚硬的覆盖层，空化可能间断地发生在初始空化位置和湿表面之间，而且空化可能突然发生在湿表面。

（2）重构波出现在破水波形成之后。空化闭合辐射出的压力波会影响到覆盖层。而这个压力波可能增加也可能降低湿表面压力。对于＜1，空化闭合辐射出的压力波可能为负，这个波可能造成重构波和湿表面之间的水再次空化。

（3）对于刚性背衬，随着无因次波阻抗增加，无因次峰值压力peak并不单调增加。无因次通过时间较小时，peak可能超过2。最大的无因次峰值压力可能达到2.25，这发生在→ 0且=3 时。