基本不等式与“对勾”函数

毛 铭

(张家口市第一中学，河北 张家口075000)

一、求最值

例1.已知a、b∈R+,a+b=4，求ab的最大值。

以上形式还可用于应用题。

例2.用一块长为20m的篱笆靠墙围成一块菜园(如图所示)，问：长、宽各为多少m时，围成的菜园面积最大？

解：该长为xm，0

此时S≤50

∴当菜园长为10m，宽为5m时，菜园面积最大为50m2。

二、配凑法求最值

三、通过常值代换法求最值

解：因为第一象限的点(a,b)在直线2x+3y-1=0上，所以2a+3b-1=0，a>0，b>0,即：2a+3b=1

四、通过消元法求最值

解:由函数f(x)=|lgx|,a>b>0，f(a)=f(b)可知

也可应用于求一些分式型函数的值域。

解：∵x∈R,当x=0时，f(x)=0

还可应用于一些简单不等式的证明。

当且仅当a=b=c时等号成立。

基本不等式应用广泛，但求最值时一定要注意以下两方面：

1．在应用基本不等式求最值时，要把握“一正二定三相等”，“一正”即各项都是正数,“二定”即和或积为定值，“三相等”即等号能取得，这些条件缺一不可。

2．当多次使用基本不等式时，一定要注意多次是否能保证等号成立，并且要注意等号的条件是否一致。在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法。

若不注意等号成立条件是否满足，容易犯错误，导致求解结果错误。

得f(x)的值域为[2,+∞)

图像：

我们看上例的解答：

又∵a=1 ∴f(x)在[2,+∞)上单调递增。

总之，弄清基本不等式与“对勾”函数的关系有助于我们更灵活解题，能分清基本不等式的应用条件，有助于理解函数的性质。