数形结合思想在初中数学中解决最值问题的应用

杜 刚

（四川省广元市利州区大东英才学校，四川 广元）

我国著名数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休。”在数学教学实践中，将抽象的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形有机地结合起来，与具体的位置关系结合起来，使数学问题在认识和理解的实践过程中，更加形象化和生动化，因而能够有效地提高学生的学习效果。同时在具体的教学实践过程中，通过数形结合的有效运用能够使教学过程化繁杂抽象的学习实践过程为简单具体形象的生动认识体验过程，在有效地调动学生认识和思维体验的基础上，有效地提高学生的学习效果。本文结合笔者的教学经验，谈谈在具体的教学实践中如何将最值问题与数形结合思想有机地结合起来，从而更加有利于提高学生的学习效果。

一、以数化形，数形结合，丰富认识

在具体的数学学习实践中，有些数量关系比较抽象，通过简单的数据分析和讲解，学生在具体的认识实践过程中很难形成对问题的有效理解和认识体验过程，以数化形，将抽象的数量化为直观明晰的“形”，学生通过视觉体验的刺激带动大脑思维的体验认识过程，在头脑中构建出形象具体的画面感知过程，在有效的生活和知识经验的基础上，形成对数量关系形象的认识体验过程，从而有效地提高学生的学习效果。

例如在“一次函数的增减性”问题的学习实践中，一般一次函数y=kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数，其所对应的直角坐标系图象是一条直线，因而该问题不存在最大值或最小值的问题，但是在具体的数学学习实践中，往往会将问题集中在图象的某一个部分或某一小段，根据一次函数的性质来判断其增减性，如例题“请分析下列函数的最值情况：y=2x+5（x≥3）

在具体的分析实践中，我们若是通过单纯地讲解让学生去理解y随着x的增大而增大，很难使学生在具体的认识实践中形成对问题形象生动的理解认识实践过程，教师传授式的教学过程给学生的学习带来了很大的压力，让学生在学习实践的过程中难以有效地调动自身的知识经验，将思路集中到问题的思考体验过程中去，因此学生的学习兴趣难以得到有效的调动。这时候，我们以数化形，将单调、枯燥的数字化为生动形象的图象分析过程，让学生在形象化的认识体验过程中，形成对图象直观性、具体性的认识实践过程，在图象的效果引导下，学生能够自觉地感知到函数图象的变化趋势，y=2x+5，y随着x的增大而增大，在题干中给出了x的取值范围x≥3，因此，y的值随着x的增大而无限增大，没有最大值，但是x的最小值给出了定位，只要在图象的基础上稍加分析，就能够使学生在学习实践的过程中形成对问题的有效认识和理解过程，促使学生的学习效果得到有效提高。

二、以形换数，数形结合，丰富体验

图形具有直观性、形象性等优势，但是光有图形，没有涉及定量，我们很难在具体的学习实践中将问题有效解决。特别是较为复杂的“形”，我们在具体的教学实践过程中不但要把图形数字化，同时还要认真地分析题目中的隐含条件，挖掘题目背后的意义，使“形”能够在具体的认识实践过程中得到有效的展现。

例如，在学习“平面几何中的最值问题”的实践中，给出具体的图示，一个半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的长是8米，怎么才能得出最大面积，使窗户的透光最好，根据图形分析题意，使透光效果最好的做法就是使开口面积最大化，我们通过题干能够找到相对应的数量关系2x+2y+πx=8，由此列出相应的函数式y=8-πx-2x

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，由关系式画出相应的函数图象，找到最大值，使学生在系统的数据分析实践中形成对最值问题的有效理解过程。

三、数形结合，数形互变，强化体验

在数学学习实践中，利用数学图象的直观性、生动性等特点能够有效地调动学生在学习体验过程中的积极性和主动性，数字具有严密性和系统性，在具体的学习实践中，我们利用数形结合，以数换形，数形互变，使学生的学习过程更具形象性，使学生在具体的学习实践过程中更加注重对数形的有效分析和理解实践的过程，因而能够使学生学习数形的思维能力得到有效的发展和提升。

例如，在解答实数、代数、不等式、不等式组等纯数类的知识实践中，或者是在解答平面几何、立体几何等问题的实践中，将两者之间在具体的问题条件的基础上，展开具体的图形互变过程，能够使学生在学习实践中参与丰富的理解体验的过程，使学生的学习效果得到有效的强化。

总之，在初中数学教学实践中，利用数形结合思想，在解决函数问题、实数问题以及几何问题等问题的学习实践中将之有效地结合起来，能够有效地调动学生的认识和思维体验，激发学生的学习兴趣，提高学生的问题分析能力，使学生在具体学习情境的带动下，学习效果得到有效的提高。