解题教学应重在揭示思维的探索过程

广东省广州市真光中学

金 明 (邮编：510380)

波利亚说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”“掌握数学就意味着善于解题”.解题在数学学习中有着不容置疑的重要性.在中学数学课堂，教师们非常重视解题教学，然而，很多教师在教学时常常掩盖了必要的分析、探索过程，实行注入式、结论式教学.解题思路要么一猜就中，一选就准、一证就对、一用就灵；要么采用题海战术，强调纯技能技巧，指望学生通过多练而形成条件反射，以套路与程式让学生对号入座，机械模仿.解题教学缺乏对思维过程的揭示；缺少解题思路是如何想到的？为什么这样想的分析；缺少解题思路出现偏差的剖析；解题受阻时如何联想转化突破的揭示.怎样进行解题教学呢，本文通过几个具体实例揭示解题时需揭示思维的过程.

1 揭示解题错误的产生、发现、纠正过程

解题出错，人皆有之.但解题错误的产生是有原因的，只有分析出错的原因才能避免再次出错.为此教学时要抓住典型错误，引导学生剖析错误的成因，找到对应解决问题的策略.

案例1已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+3n+1，求数列{an}的通项公式

师：刚才我们学习了形如an+1=pan+q,(p,q为常数)数列的通项公式，请同学们思考一下案例1如何求解？(8分钟后)教师投影生1的解法

生1：设an+1+λ=2(an+λ)，由于an+1=2an+3n+1，可求得λ=3n+1.

即an+1+3n+1=2(an+3n+1)，故an+3n+1是首项为a1+32=11，公比为2的等比数列，所以an+3n+1=11×2n-1，即an=11×2n-1-3n+1.

师：(追问)你是怎么想的？解题思路是怎样的？

生1：刚才不是学过一题：已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+3，求数列{an}的通项公式.通过设an+1+λ=2(an+λ)构造等比数列求解，我的做法就是仿效这一题的.

师：生1的做法对吗，请同学们思考一下.

生2：生1的答案肯定是错误的.因为由已知条件求得a2=13,而由生1的答案求得a2=-5，很明显不对.

师：生2通过验算发现了生1的解答存在问题，到底是什么地方存在问题呢？

生3：生2的思路中，由an+1+3n+1=2(an+3n+1)，认为an+3n+1是等比数列，事实上若设bn=an+3n+1，则bn+1=an+1+3n+2，这样才能构成等比数列.显然生1的解答不是这样的.

师：生3非常不错，他发现了生1的出错根源.此题到底怎么解呢？请同学们分小组讨论.

师：同学们讨论得怎么样？有无答案.

师：非常好，你是怎么想到此方法的.

生5：我看到将等式an+1=2an+3n+1两边同时除以2n+1得到形如bn+1=bn+qn的形式，正好可用到累加法.

师：生5通过等式两边同除以一个式构造出能用累加法的形式.非常好，还有别的解法吗？

生6：我是这样构造的：an+1-λ×3n+1=2(an-λ×3n)，求得λ=3，故an+1-3×3n+1=2(an-3×3n)，所以an-3×3n=(a1-3×31)2n-1，即an=3n+1-7×2n-1.

师：非常好，生6也是构造等比数列求解的.但是她的构造与生4不同.以上三位同学用三种不同的解法解答了此题.同学们能否总结一下an+1=pan+qn,(p，q为常数)这样数列通项的方法并探索一下哪种方法运算量少一点.

教学反思教师首先投影学生1的解题过程，并追问其解题思路，为学生的讨论作准备.然后让学生共同分析、讨论，找出存在的问题与不足.再让学生讨论此题的解法，展示不同学生的不同解法，并点评追问其解题思路，方便其它学生判断分析.问题从学生中来，解决措施也来自学生，问题情境贴近学生的实际，吸引更多的学生参与到教学中来.通过这样的教学设计让学生能明确错误产生的原因，体验查找错误、发现错误的过程，领悟纠正错误的方法，提炼了解题的方法与经验.

2 揭示解题思路受阻时的突破过程

学生在解题时探求解题思路并非一帆风顺，往往会遇到许多挫折，甚至达不到目的.教师在备课时要充分考虑学生思维上可能遇到的困难，寻找受阻时如何转换的策略.教师在授课或答疑时可采用现推现想的做法，将解题时思维受阻的一面暴露出来，并展示受阻时是如何想的？如何突破思维障碍的，让学生从中学到教师突破困境时的思维过程.

案例2已知函数f(x)=ex+m-x3，g(x)=ln(x+1)+2.

当m≥1时，证明：f(x)>g(x)-x3.

综上可知，当m≥1时，f(x)>g(x)-x3.

思路2要证ex+m-ln(x+1)-2>0，只需证明ex+1-ln(x+1)-2>0.

联想到常用不等式：ex≥x+1，可先证明ex+1≥x+2 .由此要证明ex+1-ln(x+1)-2>0的不等式可转化为：证明(x+2)-ln(x+1)-2>0.即证明x-ln(x+1)≥0.到此此题的解法就简单了.

思路3要证ex+m-ln(x+1)-2>0，只需证明ex+1-ln(x+1)-2>0.

联想到常用不等式：ex≥x+1，可先证明ex+1≥x+2.同时也联想到常用不等式：lnx-x，故ex+1-ln(x+1)-2>(x+2)-x-2=0，原题得证.

当然本题还有其它很多解题思路，如参数m不去直接求解或放缩求解等，教学时要根据不同层次的学生可选择不同的解法.

教学反思解题受阻是解题过程中经常出现的问题.受阻了怎么办？是直接告知结论还是展示受阻的过程及解除障碍的过程.若直接告知表面上节省了时间，学生也可能当时理解但记忆不会长久，学生没有体验到知识的发生发展过程.而教师放低姿态从学生的角度，展示受阻过程，受阻后的想法，如何通过变形转化突破难点等，这样学生就能体验到老师解题时也会遇到障碍，受阻时怎样转换思维，体验到问题从受阻到脱困直至解决问题的全过程.

3 揭示解题没思路时的联想转化过程

解题时遇到陌生的问题、情境新颖的问题，有时想不到思路怎么办？这时联想、化归很重要.教学时，教师要善于引导学生多方尝试，积极联想，将陌生的问题化归为熟悉的、已经解决过的问题，使学生体验到解题思路的获得过程.

教学时，教师先引导学生剖析解此题时学生常出现的解法.

教师投影展示学生1的解法：

师：上述解题思路有问题吗？

师：生2说得很好 ，用基本不等式解题时，要注意一正、二定、三相等.生1的解法两次取等号的条件不一致，故解法不对，那怎么解答此题呢？

生众：沉默无语(显然没有一点思路)

师：我们不妨回忆一下以前做过的一道习题的解法.请同学们思考一下此题有哪些解法.

习题若实数x、y满足x2+y2+xy=1，求x+y的最大值.

师：生3从不等式的视角，利用基本不等式建立x+y与xy的关系，消去xy，解答了此题.还有别的方法吗？

师：生4从三角的视角联想到三角换元，将问题转化为三角问题解答了.还有别的方法吗？

生5：设x+y=t，则y=t-x，将其代入x2+y2+xy=1并化简得x2-tx+t2-1=0.

师：生5从方程的视角解答了此题，将要求的代数式x+y设为t，化末知为已知，将方程组有解的问题转化为方程有解的问题，从而使问题得到解决.

师：通过此题的解答，你能探讨刚才那一题的解法吗？

有了此题作铺垫，余下的问题就让学生自行探索求解，相信学生一定会解答的.

教学反思有时解题时学生一点思路也想不出来，这时就要引导学生联想以前做过的习题.本案例中，学生解题没有思路，老师引导学生从不等式的视角、三角函数的视角、方程的视角解答了一道从前做过的习题，学生学到了含两个参变量问题的解决方法，自然会联想、类比找到解此题的方法.

4 揭示解题思路的尝试探索过程

解题思路不可能总是一猜就中，一选就准、一证就对、一用就灵.解题思路的获得常常要经过尝试——出错——总结反思——找方向——再尝试——还是不对——再总结反思——再调整方向——再尝试……等多次循环，直至成功解题.在此过程中，思维能力得到了提升.

案例4在数列{an}中，a1=1,a2=3,an+2=3an+1-kan(k≠0)对任意n∈N·成立，令bn=an+1-an，且{bn}是等比数列.

此题第(1)(2)问较容易，结果为k=2，an=2n-1(过程略).

解答第(3)问时作了如下探索，过程简录如下：

探讨1能放缩为等比数列求和吗？

探讨2保留一项会有什么结果呢？

反思尽管没有证明出所需结果，但是可发现放缩的结果变小了.由此可见，保留一项，可使结果更接近.

探讨3保留二项会有什么结果呢？

探讨4能放缩为裂项相消法求和吗？

反思此放缩所得结果比题目所求结果要大，解题不成功.

探讨5用二项式定理时，放的结果还能小吗？

教学反思解题不可能每次一尝试就成功，有时需要反复尝试、调整、反思总结，再尝试.这样的过程能磨练意志，促使自信心、耐心、恒心提升，思维品质得到锤炼，思维能力得到提升.在本例的教学法中经历的尝试、反思，再尝试，再反思…等过程，在此过程中，不断尝试、不断反思，一步一步地接近目标，不仅思维能力得到提升，意志品质等非智力因素也得到了锤练.

1 林婷.突出主体地位 追寻高效复习[J].数学通讯，2013(3)(下半月)

2 金明.课堂教学应让学生尽情地“说”.中学数学，2013(3)

3 金明.这节课的教学设计为什么不成功.中学教研，2016(5)

4 张松年.把学习过程中的思维空间让给学生[J].中学数学教学参考，2009(10)