授之以渔 方能“不用扬鞭自奋蹄”——对一道高三复习题的教学探究

浙江省绍兴市上虞区城南中学

章建英 (邮编：638400)

题目(2016年12月浙江省统考17题)已知函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)在区间(0,1)上有两个零点，则3a+b的取值范围是__________.

这是一道典型的二次函数区间内零点问题，在高三复习的模拟卷中出镜率很高.题目着重考查学生的分析问题、转化问题、解决问题的能力.题目能够检验学生对二次函数与二次方程之间关系的认知程度，对数形结合思想、转化思想、分类讨论思想的准确把握.

为更好地发挥本题的教学效果，笔者在教学中通过设问、思考、讨论、板演、讲解等方式引导学生多视角地自主探讨本题，授之以渔内化为学生自身的思考能力，从而避免题型讲解的致命伤 “从知识到知识的简单传授”.本文节选部分课堂实录，与同行交流.

1 课堂实录

教师：请同学们思考5分钟，之后来谈谈你对本题解法的思考.

5分钟后请学生分析讲解此题.

学生1：本题是二次函数零点的分布问题，所以我想到的方法是利用二次函数的图象求解本题，利用条件画出在区间(0,1)内的二次函数图象，然后观察图象得出某些函数值的限制，然后利用这些限制再求3a+b的取值范围.

教师：很好，思路非常清晰，我们可以利用函数图象得到a、b的取值范围，那么把二次函数的零点问题转化到了什么问题？

学生齐声回答：线性规划问题.

教师：很好，还有同学有其它的想法吗？

学生2：二次函数的零点就是对应二次方程的根，所以我想到的方法是利用二次方程根跟系数的关系，把3a+b的取值范围问题转化为根的问题求解.

教师：太棒了，我们又有了一种方法来解决此题.同学2很好地利用转化思想，把函数问题转化到方程代数运算问题.大家鼓掌！可能大家对两种方法都很期待吧，那不妨请同学们现在亲自操作来解决此题.

教师巡视学生的解答情况，10分钟后，用投影展示两位同学的解答过程.

解法一双根法

则3a+b=3[-(x1+x2)]+x1x2=(x1-3)(x2-3)-9，因为-3

则3a+b∈(-5,0).

解法二线性规划法

结合二次函数图象，由根的分布易知

从而可以得到关于a、b的线性规划可行域，然后求直线型目标函数z=3a+b的取值范围.过点A斜率为-3的直线为y=-3x-5，故3a+b∈(-5,0).

教师：两位同学的解答目标明确，书写规范，为我们做了很好的示范.那你们觉得这两种方法的易错点在哪里？

学生3：老师，解法一的话很容易在由x1、x2的取值范围推出3a+b的取值范围时出错.我刚才就得出了3a+b∈(-6,1).

老师：那你后来是怎么发现错误的呢？

学生3：后来我检验了如若能取到1，-(x1+x2),x1x2取最大值时等号成立的条件是否一致，发现不一致，即不能同时取到等号，从而扩大了求解的范围.

老师：太棒了，我们在求解任何问题时，严谨的解题习惯是非常重要的.“一看就会，一做就错”可能会是部分同学在高三复习阶段的学习常态.这种学习的负能量造成了我们学习的自信心不足，对自己的能力产生了怀疑.分析问题时的严谨性，计算过程中的严谨性就显得非常重要.我们应在平时的学习中做到“会做的题”=“应得的分”.还有哪位同学对本题有不同的想法吗？

学生4：对于解法二，我有另外一种想法.

老师：什么想法，说说看!

学生4：一个函数的零点问题，我们可以把问题转化为两支函数图象的交点问题解决.

老师：这想法不错，请你来板书.

5分钟后，学生呈现解法三.

解法三半参数数形结合法

函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)在区间(0,1)上有两个零点⟺方程x2+ax+b=0在(0,1)上有解⟺函数h(x)=-x2与g(x)=ax+b在(0,1)有交点,即直线g(x)过曲线段OA(不包含端点)上两点，当x=3时，g(3)=3a+b的取值范围.

由图易知：当g(x)分别为h(x)=-x2在(0,0),(1,-1)处的切线时，g(3)=3a+b取最大值和最小值.两处的切线方程为：g(x)=0,g(x)=-2x+1，所以g(3)=3a+b的最大值为0，最小值为-5，即3a+b∈(-5,0).

老师：非常棒，通过半参数分离与数形结合，我们又有了一种解决此类二次函数零点问题的途径.感谢4位同学的精彩回答，你们通过思考，探求到最后的解答，给了老师惊喜.解决问题的方法有多种，我们在解决问题时尽量能探寻到最有效的途径，以最快最准的方式解决数学问题.我们来试试吧！

投影：

(1)(2016湖州二模)已知关于x的方程x2+2bx+c=0(b、c∈R)在[-1,1]上有实根，且0≤4b+c≤3，则b的取值范围为__________.

(2)(2017.4温州)已知函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)在[-1,1]上有零点，则ab的最大值是__________.

(3)(2017.4杭州)设函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)的两个零点为x1、x2，若|x1|+|x2|≤2，则( )

A.|a|≥1 B. |b|≤1

C.|a+2b|≥2 D.|a+2b|≤2

学生表现积极，能逐一讲出解决上述问题的方法.

2 课后反思

数学学习离不开解题，一方面学生对数学概念的理解和把握往往通过解题来表达和完善，另一方面数学问题也是展现数学方法和能力、锤炼数学思维的重要载体，因此解题教学是数学课堂教学的重要部分.对于高三数学复习课而言解题教学可谓是教学的主旋律.那么如何更好地唱响主旋律，笔者认为还是要还课于生.学生是主旋律的控制者，引导者.突出学生的主体地位是衡量一节课是否优秀的重要指标之一.本节课，不惜花35分钟在一道填空题的探讨上，学生从聆听者的角色转变为主导全局的控制者，求知欲之强，参与热情之高，深深打动了教师.作为教师，课堂上我们所能做的不是包办和代替，而是要通过积极的启发引导，激活学生的思维，探求问题解决的途径，润物细无声地培养学生的数学核心素养.

1 林运来. 注重核心素养 引领数学改革[J]. 中学数学教学参考,2016(10)

2 许钦彪. 化被动为主动 从人为到自然[J]. 中学数学教学参考,2016(4)