另类代入解圆锥曲线中的两类问题

甘肃兰州新区舟曲中学

李守明 (邮编：730087)

在高三复习圆锥曲线章节的过程中，常会遇到经过原点的两条直线斜率之和与斜率之积为定值这两类问题及其变式，这两类问题及其变式反映了直线与圆锥曲线之间的关系，结合韦达定理，解决起来也较为容易.但著名数学家波利亚说：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾与反思”.那么这两类试题及其变式还有没有其他的解决方法？如果当定点不是原点时，又如何解决呢？笔者带着这样的思考，走向解题之旅.

1 两道题目及其常规解法

先看这两道题的常规解法：

题1的解法：

②代入①消去y，得到

x2+2x-1-2a2=0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=-2，x1x2=-(2a2+1)，

故双曲线方程为4x2-2y2=1.

题2的解法：

①

y=kx+4

②

②代入①消去y,得：

解得k=-15，故直线方程为y=-15x+4.

2 两道题目的齐次化解法

题1的齐次化解法：

题2的齐次化解法：

化简整理得15y2+2kxy+(4-k2)x2=0，因x≠0，方程两边同除以x2，得

解得k=-15，故直线方程为y=-15x+4.

3 两道题目的变式及解决

上述两个题目，都是过定点是原点的直线的斜率之积和斜率之和问题，如果定点不是原点，那么还能利用“1”代换，构造齐次化方程来解这两类试题吗？不妨来看下面的题目：

(I)求椭圆C的方程；

(II)E、F是椭圆上的两个动点，①如果直线AE的斜率与AF的斜率之和为2，证明直线EF恒过定点，②如果直线AE的斜率与AF的斜率之积为2，证明直线EF恒过定点.

(II)平移坐标系，使坐标原点和点

直线EF平移后变为E′F′，其方程不妨设为mx′+ny′=1，

代入椭圆方程得3x′2+4y′2+6x′(mx′+ny′)+12y′(mx′+ny′)=0，

此方程的两个根即为AE′和AF′的斜率.

4 两道题目有关的高考链接

(1)求直线AB的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.

解(1)kAB=1；

直线A′B′的方程为x′-y′=-8，则直线AB的方程为x-2-(y-1)=-8，

即x-y+7=0.

(1)求C的方程；

(2)设直线l不经过点P2且与C相交于A、B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点.

直线l即AB平移后变为A′B′，其方程不妨设为mx′+ny′=1，

代入椭圆方程得

5 一点想法

受常规解题思路的影响，我们习惯于用固化的套路解决数学问题，如果我们能够变换问题解决的角度，则往往能够迎来耳目一新的解决方案，这对培养学生思维的广阔性和灵活性大有裨益.

1 赵维浩.二次齐次式在圆锥曲线中的妙用[J].中学数学教学参考(上旬),2016(10)：43-44