一道2017年越南数学奥林匹克试题的推广

安徽师范大学数学计算机科学学院

江媛瑶 郭要红 (邮编：241000)

1 引言

2017年越南数学奥林匹克一试题是：

已知a、b、c是满足a+b+c=1的正数，求证：

①

文[1]给出了上式的一个证明，并将不等式推广为：

已知a,b,c是满足a+b+c=1的正数，n是正整数，求证：

考虑不等式①的其他形式的推广，得到：

定理已知a、b、c是满足a+b+c=1的正数，k为非负整数，则

②

2 主要结论的证明

证明先证明

③

因为a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=1-2x，

a4+b4+c4=(a2+b2+c2)2-2(a2b2+b2c2+c2a2)

=(a2+b2+c2)2-2[(ab+bc+ca)2-2abc(a+b+c)]=1-4x+2x2+4y，所以

再证明不等式②.

因为k≥1，所以函数f(x)=xk是(0,+)内的凸函数，根据Jensen不等式，有

④

等号成立当且仅当a1=a2=…=an时.

3 讨论

当k=1时，不等式②即为不等式①，所以不等式②是不等式①的推广.

从上述证明过程可以看出，不等式②对k≥1的实数也成立.

1 陈一君. 若干2017年国际数学奥林匹克不等式题的精彩证明[J].中学数学研究(江西)，2017(4)：46-47

2 匡继昌.常用不等式(第三版)[M].济南：山东科学技术出版社，2004:61-62