简与繁

刘红霞

简与繁，是对比强烈的两个字，从辩证的角度看，它们是矛盾对立的统一体，两者之间存在着相互对立、相互依存、相互转化的关系.简到繁，比如无理数的发展，到实数系的建立经历了很长的时间才能做到；繁要做到简，需要有很大的智慧，这是发现事物本质的过程.其实在我们平时的数学学习中也有着简与繁的对立统一.

一、数学中的繁与简

数学来源于生活，从最早的计数到现代数学，数学这门课程的建立也是经过繁复的思维的，而正是这思维的繁复才创造了人类的文明.比如说，在我们今天看来比较简单的实数系的建立，经历了几千年，这是曲折而漫长的过程，主要因为数学必须要有严密的推理.正如电影《知无涯者：天才拉马努金的一生》中的数学家拉马努金的导师、著名数学家哈代跟他说的，只有结论远远是不够的，不给出证明，是没办法公布于世的.确实如此，不给出证明，仅仅只能作为猜想存在！知识体系的建立需要繁复的思维，而我们作为数学学习者来说，也是常常通过经历繁复的思维才能得到我们想要的所谓的简的结论，

我们以不等式求最值为例，来看一道经典题目：

例1 已知x，y>0，1/x+4/y=8，求x+y的最小值.

很明显，这种解法是错的，其根本原因在于没有用好用基本不等式求最值时的口诀：“一正二定三相等”，没有注意到不等式两次取相等的情况不一样.于是我们就开始尝试新的方法，那么这个新的方法怎么想到呢？有同学就记住了老师讲的“1”的代换，这其实是远远不够的，仅仅这样，我们这道题是会做了，但是以后遇到其他的还是不会.于是，就需要我们多角度地分析这样处理的原因.分析的过程之于这道题好像是没有必要的，但是“知其然而知其所以然”，我们的思维才能得到拓展，我们的学习才会真正地达到“简”.正如巴乌斯托夫斯基所说的：“要知道得详尽，才能写得简练.”我们来看这道题，要求的最值，那很明显是具体数值，而我们要求的x+y，式子的左边是一次的，而已知的1/x+4/y是-1次冪的，那么两个式子的乘积不就是0次了吗？然后自然而然想到了将两个式子相乘，从而得到的项从次数上来讲全是o次的，再运用基本不等式就可以解决了.

这样的思考过程虽然比记住这种结论更繁，但是学会了这样观察式子的结构的方法，可以帮助我们解决不少相关的问题，这样可以达到举一反三，触类旁通，岂不就是“简”？所以，繁复的思考创造了简的结论，而且正是这样一个思考的过程会促使我们多角度地思考问题，从而较快地提高我们的数学学习能力，

二、简是本质

在解题时，我们要注意智慧地找到问题的本质，不能被式子的外壳所迷惑，必须保持清醒的头脑.一旦寻找到了问题的本质，解题对于我们来说也就不难了.

例2 （1）设x>0，y>0，4x+y=8xy则x+y的最小值为

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（2）若a>o，b>o，且1/（2a+b）+1/（b+1）=1，则a+2b的最小值为

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本例题（1），我们观察到4x+y=8xy式子的两边次数不同，因此可以两边同除以xy，转化成例1的问题，迎刃而解.对于题（2），很多同学一开始接触的时候可能会一筹莫展，1/（2a+b）+1/（b+1）=1的左边分母表现得并不“协调”.但是再从次数上看，不也是“知-1次求1次式”吗？因此我们可以进行调整、配凑，将原式变形为1/（2a+b）+3/（3b+3）=1这样分母相加就得到了2a+43+3=2（a+2b）+3的形式，即可以用同样的方法求得a+2b的最小值.但是这样的方法看起来颇繁，我们继续思考，为什么会这么繁？因为分母看着繁，很揪心，我们尝诚进行换元，即设2a+b=s，b+l=t，则1/（2a+b）+1/（b+1）=1可以转化为1/s+1/t=1，则a+2b=（s+3t-3）/2问题又转化为类似例1的问题.所以通过寻找繁的问题的根源，可以找到简的本质，从而有效地解决数学问题.

三、繁是相对的

我们在数学学习时经常会遇到一类题的通解通法，这本身是对所学知识进行归纳的一个过程，但是涉及具体问题时经常会觉得这样很繁.但是，繁是相对的，有通解通法总比一筹莫展、糊里糊涂，不知从何下手来得好.而且通解通法做多了，熟练了，不也达到了简吗？当然，我们在解不等式时也要具体问题具体分析，不是一成不变的，要学会变通，在繁的过程中掌握一些简的本质.

例3 解不等式：（1）3x+2>0；（2）x²-3x+2>o；（3）（x-1）/（x-2）>o.

解题（1）是利用不等式的性质，解题（2）是借助其对应的二次函数图象，解题（3）是将分式不等式转化为一元二次不等式.我们一开始接触这类题时可能觉得很简单，以致于老师在讲解不等式的通法——数轴标根法时，觉得很繁，不实用，但是遇到高次的、分式或者含有参数的，标根法可能要来得简单一些.而且通法还有一个好处就是每次都用这个方法解，等同于在不停地巩固，不断地熟化.长时间的巩固熟化必然会使得这样的方法变得简单起来，做多了、熟练了，何尝不是一种简呢？所以繁是相对的.当然，我们在解不等式组时还要注意不等式的相互制约，有时我们又可以直接运用不等式的性质.来看这样一道题：

解不等式组x>0，1/x>1.很明显，这样的例题是不需要用数轴标根法的，因为有x>0，因此第二个式子只要直接乘x就够了.

因此，繁和简是相对的，繁与简应适时地变化，我们在数学学习中要认识到通法的繁其实是为了熟练地简，学习尽可能地做到繁与简的统一，这样我们的数学学习会更好.endprint