高中数学函数单调性概念教学

陈佩

摘要：正确理解高中数学概念是学生学好数学的前提。在高中数学教学中，教师要重视数学概念的探究，引导学生参与数学概念的建立过程，体会概念蕴含的数学思想。本文主要探讨了高中数学函数单调性的概念教学。

关键词：高中数学   函数单调性   概念

在数学概念教学中，教师很少会创设情境，让学生感知数学概念，导致学生记不住概念，也难以理解概念的本质。笔者认为，教师要积极引导学生参与数学概念的建立过程，让学生理解概念的来龙去脉，直观地感知或通过实验逐步认识事物的本质，认识概念。

函数在高中数学中占有重要地位，其中函数的单调性最为特殊。笔者以北师大版必修1“函数单调性概念”教学为例，谈谈如何重视概念的探究过程，让学生感悟概念内涵。

一、创设情境，引出课题

问题1：“上节课我们学习了函数的概念和函数的三要素，了解到函数是描述事物运动变化规律的数学模型。在生活中，我们常听到房价上涨、气温升高、油价上涨、股票下跌这些话，你能举出一些描述这些上升、下降变化规律的成语吗？（如每况愈下、此起彼伏、蒸蒸日上……）”

问题2：“你能根据‘蒸蒸日上‘每况愈下‘波澜起伏分别举出一个函数吗？”

问题3：“观察y=2x，y=-2x，y=x2的函数图像，说一说每个图像从左至右是上升还是下降？”

引出课题：函数图像的变化规律反映了函数的一种性质，这就是函数的单调性。

二、归纳探索，形成概念

问题4：“还记得初中时，你们用什么语言描述图像的‘上升‘下降吗？”

笔者以二次函数y= x2为例，引导学生观察随着自变量x的增大，函数值y如何变化？学生思考，得出结论，教师板书：图像在y轴左侧“下降”，即当x<0时，y随着x增大而减小;图像在y轴右侧“上升”，即当x>0时，y随着x增大而增大。我们称前者为减函数，称后者为增函数。

问题5：“还是以y=x2为例，y轴右侧，图像呈上升趋势，即x>0时，y随着x增大而增大。结合解析式用数学语言怎么描述？”

经过小组讨论，得出以下几种方式：

①在（0，+∞）内，x取1，2，3，4，5，根据解析式得到f（1）

f（4）

②在（0，+∞）内，设x1

x3……xn，如果得到f（x1）

f（x3）……f（xn） ，就可以得到x∈（0，+∞）时，y随着x增大而增大;

③在（0，+∞）内，任意取x1，x2，让x1

接着，最后引导学生分析比较以上三种方式，得出增函数数学符号语言，并板书。

问题6：“你能找出增函数概念的关键词吗？”

问题7：“你能类比增函数，给减函数下定义吗？”

问题8：“初中学习了以下三类函数，你能通过观察图像指出函数在哪些区间上是单调的，单调性如何？①单调区间什么时候写开区间，什么时候写闭区间？②函数f （x）=在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，能否说这个函数在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数？

三、初步应用，巩固概念

例题1：判断y=的单调性，并用定义证明它在（0，+∞）上的单调性。

引导学生讨论证明方法后，教师应指导有困难的学生。学生完成后，教师可选取几个典型解题过程投影并分析，组织学生讨论解题过程中哪个是完整、正確的，最后总结出利用单调性定义证明函数的单调性的一般步骤为任取——作差——变形——定号——下结论。

最后，教师可布置变式练习，要求学生画出函数f（x）=|x2-4x-5|的图像，然后根据图像写出单调区间。

四、总结反思，提升能力

“函数单调性概念与初中所学的‘y随x的增大而增大或图像从左至右逐渐上升这种定义方法是否一致？两者是否存在区别？”笔者设计以上两个问题，让学生经历了函数单调性概念的建构过程。借助一次、二次函数等图像，引导学生发现函数单调性的“上升”“下降”的直观特征（图形语言），再结合二次函数的图像与对应值表定性描述增、减变化的数字特征（自然语言）：x增大，y增大（减小）。最后，教师进一步利用解析式研究，定量精确描述上述特征（符号语言），最后从特殊到一般给出增（减）函数的形式化定义。

参考文献：

[1]罗小伟.中学数学教学论[D].南宁：广西民族出版社，2000.

[2]俞湖红.例谈高中数学概念教学的有效策略[J].中等职业教育，2012，（6）.

[3]孔小明.函数单调性”的教学设计与说明[J].中学数学杂志，2010，（9）.

（作者单位：江西省丰城市第九中学）