均值不等式的认识与应用

吴晨

摘 要：均值不等式在不等式理论中处于比较重要的地位，也是数学中最重要的基本不等式之一。同时，它在数学中的各个领域中有着广泛的应用。利用均值不等式，我们可以解决最值或者是数学其他方面的问题。因此，研究均值不等式有着很大的意义。本文在概述了均值不等式定义的基础上，分析了两种均值不等式典型的证明方法，最后论述了均值不等式的应用，以加深人们对均值不等式的认识和理解。

关键词：均值不等式；认识；应用

一、均值不等式的概述

均值不等式，又称为平均值不等式或者是平均不等式，是数学中的一个重要公式。它的表达式为Hn≤Gn≤An≤Qn，指的是调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算術平均数不超过平方平均数，简单来说就是“调几算方”。其中，

调和平均数：[Hn=ni=1n1ai=n1a1+1a2+…+1an]

几何平均数：[Gn=i=1nain=a1a2…ann]

算术平均数：[An=i=1nain=a1+a2+…+ann]

平方平均数：[Qn=i=1na2in=a21+a22+…+a2nn]

二、均值不等式的证明方法

均值不等式的证明方法有很多，接下来我们就讨论下泰勒公式法和不等式法这两种典型的证明方法。

（一）泰勒公式法

设[fx=logxa]（00），于是有[fnx=-1x2lna>0]，将[fx]在[x0]展开，由泰勒公式我们可以得到[fx=fx0+fx0x-x0+fnx0x-x022]，因此有：

（二）不等式法

在均值不等式的证明方法中，有一个特殊的不等式ex≥1+x，我们就可以利用这个不等式进行推导。

三、均值不等式的应用

均值不等式在不等式理论中占有重要的地位。同时，在我们的日常生活中也会利用到均值不等式。因此，均值不等式不管是在数学中还是在日常生产生活中的应用都是十分广泛的。

（一）均值不等式在数学中的应用

1.均值不等式在证明不等式中的应用

通常情况下，一些不等式的证明都会采取比较法、综合法和分析法等，但有些不等式在运用以上方法证明时会比较困难。因此，不等式的证明也会考虑均值不等式或者是均值不等式与综合法相结合的方法，这种情况下我们就可以把复杂的问题简单化。

例1：证明m2+n2+1≥mn+m+n。

由均值不等式我们可以知道m2+1≥2m，n2+1≥2n，m2+n2≥2mn，三个公式分别相加得到2（m2+n2+1）≥2（mn+m+n），因此m2+n2+1≥mn+m+n，原不等式成立。

例2：m，n，o是三个不相等的正数，而且mno=1，求[m+n+o<1m+1n+1o]。

[m+n+o=1mn+1no+1mo<1m+1n2+1n+1o2+1m+1o2=1m+1n+1o]得出，

[m+n+o<1m+1n+1o]。

2.均值不等式在求最值问题中的应用

均值不等式是求最值最常用的方法之一，也是重要的知识点。通过观察均值不等式，我们可以发现，如果两个正数的乘积为常数，当且仅当它们相等时，它们的和有最小值；如果两个正数的和为常数，当且仅当相等时，它们的乘积有最大值。所以，在利用均值不等式求最值问题中，一定要注意“一正二定三相等”这三个条件，这三个条件是缺一不可的。“一正”指的是所求最值的代数中，各个变数都是正数；“二定”指的是各个变数的和或者是乘积都是常数，这样才能确保不定式的一端为定值；“三相等”指的是各个变数必须有相等的可能，否则是无法利用均值不等来求最值问题的。

例3：如果0

因为0

例4：求下列函数的值域：

（1）[y=3x2+12x2]；（2）[y=x+1x]。

（1）[y=3x2+12x2]，∵[y=3x2+12x2≥2?3x2?12x2=6]，所以[y=3x2+12x2]值域是[6，+∞）。

（2）[y=x+1x]，主要分两种情况来讨论。

当x>0时，[y=x+1x≥2?x?1x=2]；

当x<0时，[y=x+1x=--x-1x≤-2?x?1x=-2]，

所以[y=x+1x]的值域是（-∞，-2]∪[2，+∞）。

（二）均值不等式在日常生活中的应用

在日常生产生活中遇到的一些问题，如土地利用等问题，都可以用均值不等式来解决。接下来我们来讨论下均值不等式在日常生活中的应用。

1.土地利用

用一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，求当这个矩形的长与宽各是多少时，菜园的面积是最大的，最大的菜园面积是多少？

例5：我们首先设矩形菜园的长是xm，宽是ym，那么x+2y=36，矩形菜园的面积是S=xy=[12]x[?]2y，由[x?2y≤x+2y2]得到：

S=xy≤182/2=162m2，所以当且仅当x=2y，也就是x=18，y=9时等号成立。因此，矩形菜园的长是18m，宽是9m时，菜园的面积最大，最大的面积是162m2。

另外一种解题方法是，设矩形菜园的宽是xm，那么长是（36-2x）m，其中0

2.机械制造

机械制造业为各个行业的技术装备提供了强有力的支持，也为其他行业的发展提供了不可忽视的基础条件。在市场上，工厂为了满足不同的生产需求就要生产不同种类和规格的零件。当企业利用同样的材料去制造不同的东西时，均值不等式就会派上用场。

例6：企业要求要用一块钢锭制造一个厚度均匀的正四棱锥形的有盖容器，并且全面积是2，容器的高是h米，盖子的边长是xm，容器的容积是V，求当x为多少米时，v最大，最大值是多少？

因为底面积是x2，所以容器的四个侧面积都是[12x（x2）2+h2]，所以全面积是[S=x2+4?x2?x22+h2=2]，通过整理我们可以得出[x=1h2+1]（0

3.商品价格

近几年，随着经济的快速发展，企业也在突飞猛进的发展着。在一定条件下，销售量是决定企业生存的根本，而价格是决定销售量最重要的因素。一定范围内的加价，企业营业值会合理增长，但如果进行盲目加价，企业就有可能出现亏损的现象。在这种情况下，我们可以利用均值不等式来判断企业价格的幅度，保證加价的合理性。

例7：某企业的商品计划两次提价，有A，B，C这三种方案，其中，m>n>0，如下表所示，问经过两次提价后，哪种方案的提价幅度较大？

设该商品的原价是a，两次提价后按照A，B，C这三种方案的顺序依次为P1，P2，P3，

则，P1=a（1+m%）（1+n%） P2=a（1+n%）（1+m%） P3=a（1+[m+n2]%）2，

因为m>n>0，所以（1+[m+n2]%）2=[[1+m%+（1+n%）2]2]>（1+m%）（1+n%），所以P1=P2

四、总结

均值不等式是重要的数学理论。它不仅在数学中的证明不等式和求最值中等方面的应用很广泛，同样在我们日常生活中的应用也是非常广泛的。我们要认识到均值不等式的重要性，也要在应用时注意其使用条件，创造性灵活使用而不是一味地使用均值不等式，只有这样我们才可以合理利用均值不等式，真正发挥其最大作用。

参考文献

[1]匡继昌.常用不等式[M].济南：山东科学技术出版社，2004.

[2]胡彬.均值不等式在生活中的应用[J].高中数理化：高二版，2008（7）：21-22.

[3]魏丽芳.均值不等式的推广形式及其运用[J].新课程：中学，2013（5）.