球与多面体外接问题的归类与探究

摘要：纵观近十年文科卷中与球有关的高考题，尽管对球与多面体外接问题的考查绝大多数相对较为基础，但这并不意味着高考复习可以忽视这部分的教学，毕竟，此部分的考查仍是较为频繁且有时较难一些，笔者将就此进行归类与探究。

关键词：高中数学；立体几何；球与多面体；归类与探究

球是一个特殊的几何体，是高考中的高频考点之一，常与其他几何体构成组合体，这类题型能够很好地考查空间想象能力、化归转化能力和运算能力。为了能更好把握难度，提高复习的效率，收集了近十年与球有关的文科试题，不难发现，主要都是在考查球及其截面圆性质，考试往往与球的体积和表面积及其他多面体的知识相联系综合命题。下面，笔者将就近十年高考文科试题中关于多面体的外接球进行归类与探究，与同行交流。

一、 直接利用球的有关性质确定球心

球的性质：1. 球面上的点到球心的距离都等于球的半径；2. 用一个平面去截球，截面是圆；3. 过球心的截面是大圆，不过球心的截面都是小圆；

4. 球心与截面圆心的连线垂直于截面。计算时常用到的结论有：①球心O到截面的距离d与球的半径R、截面圆的半径r的关系有R2=d2+r2；②球的表面积公式：S=4πR2，体积公式：V=43πR3。

案例一：1. （2013新课标Ⅰ·文）已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB=1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为。

本道题直接用到基本性质及公式R2=d2+r2即可求出球的半径R，进而求其体积或表面积。近十年中与之相类似的还有[2012新课标·文]、[2013新课标Ⅱ·文]。

2. （2015全国Ⅱ·文）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）

A. 36π

B. 64π

C. 144π

D. 256π

分析：球与三棱锥结合。三棱锥的体积的决定因素是底面积和高，注意到∠AOB=90°，则S△OAB是定值，三棱锥体积的最值转化为研究高的最值，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大。近十年中与之相类似的还有[2017全国Ⅰ·文]、[2007夏、海南·文]。

二、 构造长方体

利用球的性质及长方体的对称性，不难证明长、宽、高为a，b，c长方体的外接球的半径为R=12a2+b2+c2。

案例二：（2017全國Ⅱ）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在同一个球O的球面上，则该球O的表面积为

。

本道题直接考查长方体外接球近，十年中与之相类似的还有[2016全国Ⅱ]、[2010新课标·文]，但有时并非直接考查，而是考查三棱锥的外接球，某些特殊的三棱锥可通过转化，补形成长方体。归类如下：①如图1，三个面两两互相垂直的三棱锥（或有三条侧两两互相垂直的三棱锥）；②如图2，三棱锥A′ACD中，A′A⊥面ACD，AD⊥DC；③如图3，三棱锥A′BCD中，A′D⊥CD，A′B⊥BC，BC⊥CD；④如图4，四面体AB′CD′中，AB′=CD′，AC=B′D′，B′C=AD′（三组对棱两两相等的）。

此外，由两个有公共斜边的直角三角形组成的三棱锥，即如图5中，三棱锥D′ABC中，AD′⊥AB，BC⊥CD′，则BD′的中点O是其外接球的球心。

三、 构造直棱柱

根据球的对称性及性质可知，若上、下底面的截面圆的圆心分别为O1、O2，半径为r，则其外接球的球心O是O1O2的中点，且球的半径R=O1O222+r2，事实上，长方体是特殊的直棱柱，其外接球的半径也是可这样求的。

案例三：1. （2008宁夏、海南）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为。

2. 三棱锥PABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=23，AB=4，∠BAC=30°。若三棱锥PABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为。

第1题直接考查了直六棱柱，第2题并非考查直棱柱，但它有个面面垂直关系，可以补成直三棱锥。对于一些有垂直关系且可以补成直棱柱的，就比较易求得其外接球的半径。我们以三棱柱ABCA1B1C1为例（如图6），归类如下：①如图7，四棱锥CABB1A1中，平面ABC⊥平面ABB1A1，四边形ABB1A1是矩形；②如图8，三棱锥CBB1A1中，CB⊥BB1，BB1⊥A1B1；③如图9，三棱锥CABA1中，平面ABC⊥平面ABA1，AB⊥BB1。四、 棱锥的外接球

通过上面的探究，我们可对棱锥的外接球作如下归类：

（一） 可转化为长方体或直棱柱的棱柱。

（二） 正棱锥（以三棱锥为例）如图10，正三棱锥SABC，球心O在其高SH上，设SH=h，CO=R，CH=r=33a，OH=|h-R|，在Rt△OCH中，由CO2=CH2+OH2即可求解。

（三） 一般棱锥的外接球：分别过两个面的外接圆圆心作对应面的垂线，这两条垂线的交点即为球心（如图11）。此方法也是求多面体外接球球心的通用方法。

案例四在三棱锥SABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，SA=3，SB=23，二面角SABC的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为。

参考文献：

[1]汤传诚.高中数学探究式教学策略研究[J].中学数学教学参考，2010（5）.

[2]冯国明.关于球与多面体的组合体解题方法探讨[J].中学数学教学参考，2012（7）.

作者简介：吴锋远，福建省泉州市，福建省泉州实验中学。