少投入与多产出

刘艺聪

摘 要：投入与产出是商人最关心的问题，所有的商人都希望自家能够以最少的投入获得最多的回报，这时候就需要运用数学手段去判断如何能够获得尽可能多的利润。在高中阶段我们能够接触到的简单的方法就是不等式组和线性规划了。本文将简要介绍这两种方法并举出例子。

关键词：投入 产出 不等式组 线性规划

中图分类号：G634 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2018）01-0-01

商人追求的就是利润，以最少的投入达到最多的利润是做生意中需要考虑的极为重要的问题。实际生活中总是有着各种各样的限制，获取利润就是要在这些限制条件中选择出合适的方案并执行。如何做到少投入与多产出，这就需要我们罗列限制条件，从中抽取出有用的条件，根据条件建立数学模型，寻求最佳的方案。

一、不等式组的应用

不等关系和相等关系是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中有着非常重要的地位。实际的生产生活中，许多的条件和限制不是一一对应的相等关系，而是确定了一个范围的不等关系。投资决策、生产规划、环境保护、人口控制、交通运输等等方面的问题，都会利用不等式进行论证和求解。

例题1 某厂生产过程中需要某种配件，可以外购，也可以自己生产。如果外购，配件供应商规定：若购买1000个以下（含1000个）则按每個1.10元计价；若超过1000个，则前1000个按每个1.10元计价，超过部分按每个1.00元计价；如果自己生产，则固定成本需增加800元，另外每生产一个配件的材料费和人工费共需要0.60元。作为决策者，应该怎么选择方案[1]？

解：设需要该配件个，外购需要的资金为y1元，自己生产需要的资金为y2元。由题意则有

当时，设，即，解得，显然，当生产的零件数量小于1000件时，外购比较合算。

当是，设，即，解得，即当生产的零件数量大于1750时，自产比较合算。

综上，当该零件的需求小于1750时，外购较为合算；当该零件的需求大于1750时，自产比较合算；当该零件的需求等于1750时，外购和自产消耗相等，都可以。

解析：本题目比较简单，实际生活中的问题会拥有更多的条件，但是解决问题的想法和思路与此题目是别无二致的。分段在生活中是很常见的情况，比如分段收费的公交车等，面对分段的情况，需要每段分别计算，并且得出答案的同时思考是否在范围内，保证答案不会出错。

二、线性规划的应用

许多的应用领域，会遇到如何对有限的资源（人力、物力、财力）进行合理的利用，达到最优的效果的问题，这类问题往往可以通过线性规划的方法得到解决。线性规划模型可以应用在许多的领域，例如技术问题、国民经济、军事领域和管理决策领域，它是一种现代科学管理的重要方法和手段。

线性规划的研究对象大体分为两类：

（1）在任务确定后，如何计划、安排，使用最低限度的人、财、物等资源去实现该目标，追求生产成本、费用最小，即怎么少投入。

（2）在现有的人、财、物等资源的条件下，研究如何合理地计划、安排，可以使某一目标达到最大，如产量、利润目标等，即怎么多产出。

线性规划中研究的问题要求目标与约束条件函数均是线性的，并且只有一个目标函数，在实际的生活中，大量的问题是线性的，有许多是接近线性的，因此线性规划具有很大的应用价值。

例题2 某公司炼铁需要两种铁矿石A和B，其中A矿石的含铁率为50%，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量为1万吨，每万吨铁矿石的价格为300万，B矿石的含铁率为70%，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量为0.5万吨，每万吨铁矿石的价格为600万。若至少需要生产1.9万吨铁且要求CO2的排放量不超过2万吨，则购买铁矿石的费用至少为多少万元[2]？

解：设铁矿石A买了x万吨，铁矿石B买了y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则由题设可知，本题目中x，y满足约束条件

，即，所求为满足条件时的最小值。

将不等式对应的平面区域，如图1中的阴影部分所示标注出来。直线，也就是进行平移，当经过P点时，取得最小值。

解方程组，得到P点坐标为（1，2），所以z的最小值为15。即购买铁矿石的最少费用为15百万元，即1500万元。

解析：本题为较为简单的实际应用类型，即在条件限制的情况下寻求费用最低的问题，主要还是使用了图解法。

对于只有两个决策变量的线性规划问题，图解法是个非常好的方法，不仅简单直观，而且可以非常简单得了解线性规划问题求解的基本原理。图解法求解线性规划模型分三步：（1）作出可行区域，并求出顶点；（2）作出目标函数的等值线，一般作出通过原点的目标函数等值线，然后将该直线平移并保持与可行解区域有焦点，得到一簇平行线；（3）找出临界的等值线，得到最优解[3]。

少投入与多产出是一类应用性很强的题目，生活中许许多多的场景是可以套用以上两种方法来处理的。另外生活中常常有可以运用数学知识解决的实例和场景，只是人们在面临问题时想不到向数学知识延伸，往往是手中掌握着解决问题的利器而不自知。我们学习知识不仅仅是为了升学，学会运用知识改变自己的生活，也是很有趣的一件事。

参考文献

[1]任生录. 高中数学应用性问题——建模单元题组典型（第二版）[M]. 上海：上海大学出版社，2012，38-42.

[2]李春机. 例谈2010年高考线性规划问题，把握线性规划教学[J]. 新课程（教育学术），2011，（03）：21-22.

[3]上海市中学生数学知识应用竞赛组织委员会. 中学数学建模与赛题集锦（第二版）[M]. 上海：复旦大学出版社，2014，105-109.