一类边界退化抛物系统的近似可控性

张秋颖, 周鸣君

(吉林大学 数学学院, 长春 130012)

0 引 言

考虑如下抛物系统的近似可控性:

(1)

不同于古典理论, 本文将边界分为弱退化边界、 强退化边界、 非退化边界. 其中强退化边界上的方程展现双曲特征, 弱退化边界则表现为抛物特征. 显然a在侧边界∂Q×(0,T)上的某些点为零, 因此方程(1)在{(x,y,t)∈∂Q×(0,T):a(x,y,t)=0}上是退化的. 根据文献[1], 可给出如下初边值条件:

其中:u0∈L2(Q);

式中0<δ

目前, 对非退化线性和半线性抛物方程控制理论的研究已有许多结果[2-4]. 文献[5-12]研究了退化抛物方程(组)的可控性. 文献[9]研究了下述高维情形退化抛物方程(组)的近似可控性:

(x,t)u)+c(x,t,u)=h(x,t)χD, (x,t)∈Ω×(0,T).

(4)

‖u(·,T)-ud(·)‖L2(Q)≤ε.

(5)

1 适定性

类似于文献[1]中的推论2.1和注2.1, 可证:

注1若u∈B, 则在迹的意义下u|Σ=0, 但在(∂Q×(0,T))Σ上一般没有迹.

其中DT=D×(0,T). 则称函数u∈L∞(0,T;L2(Q))∩B是问题(1)-(3)的弱解.

(6)

(8)

其中k=1,2,…, 且当k→∞时,ck→c和fk→hχD于L2(QT),u0,k→u0于L2(Q). 考虑正则化问题:

根据抛物型方程的古典理论, 问题(9)-(11)存在唯一古典解uk. 在方程(9)的两端同时乘以uk, 并在Qs(0

于是由Gronwall不等式, 得

利用Cauchy不等式并结合式(8), 可证

(14)

(15)

在式(14)中令k→∞, 由式(15)即得式(6).

于是

从而

由Cauchy不等式并结合式(8)和式(14), 可证

一些教师在课堂练习中没有按照教学目标去对练习内容进行整合，受“熟能生巧”思想的影响，认为学生练得多掌握的就扎实，所以在课堂练习中单纯让学生进行模仿练习，这样很容易使学生产生厌倦感，学习数学的兴趣也会大大下降，更无法带动学生进行思考。

令k→∞时, 由式(15), 得

利用Holmgren方法可证问题(1)-(3)弱解的唯一性, 证明过程类似文献[9]中命题2.1. 证毕.

2 近似可控性

先考虑问题(1)-(3)的对偶问题, 即

定义映射

其中v是对偶问题(18)-(20)的弱解. 由定理1可知L为L2(Q)×L∞(QT)到L1(QT)的连续线性算子. 由文献[13]知, 对偶问题(18)-(20)的弱解v有唯一延拓性质, 即

L(v0,c)=0, a.e.(x,y,t)∈DT⟹ L(v0,c)=0, a.e.(x,y,t)∈QT,

(21)

表明L是单射.

取定ε>0,ud∈L2(Q)和c∈L∞(QT), 定义泛函

它满足以下两个性质[11].

类似于文献[14-15]中的结论, 可证:

(22)

下面利用引理1证明系统(1)-(3)的近似可控性.

证明: 注意到方程(1)是线性的, 不妨设u0(x,y)=0, a.e. (x,y)∈Q. 否则, 可将u写成两个解之和: 一个是具非齐次初值固定系统的解, 另一个是具齐次初值控制系统的解.

情形1) ‖ud‖L2(Q)≤ε.

情形2) ‖ud‖L2(Q)>ε.

(23)

将方程(1)两端同时乘以θ, 有

(24)

由θ是问题(18)-(20)在v0=θ0时的弱解知

(25)

由式(24),(25)并注意式(23), 有

证毕.

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