数学悖论研究

　

(重庆工商大学　重庆　400067)

悖论就是指在逻辑上可以推导出互相矛盾的结论，但是表面上看起来又能够自圆其说的命题或者理论体系。比如“我说的是假话”[1]，这种说法在生活中是正常且常见的，但是仔细观察分析一下：因为我说的话是假话，按此假定“我说的是假话”是假话，说明真实就是“我说的是真话”，可是这又意味着我说的是真话，那么“我说的是假话”就是真的，怎么一句话看上去完美无缺似乎是没有什么矛盾，但结果就是“我说的是假话”既是真话又是假话呢？但这就是悖论的有趣之处，下面我们来鉴赏悖论奇景的冰山一角，本文简单列举以下三种方向的悖论。

一、逻辑学悖论

逻辑学是一切演绎推理的基础，不具备基础的逻辑推理能力学习数学是非常艰难的。有一个有趣的例子—“这句话有八个字”，很明显这句话是是错的，明明白白的只有七个字，那么它的反话就应该是对的吧？多数人都会这么想；这句话的反话是“这句话没有八个字”，但是咱们来数一数，这句话明明就是八个字，那么这句话也是错的。为什么会出现这种尴尬的局面呢，这就是逻辑悖论的魅力所在，用常识的思想去思考是行不通的，一味地严肃查看问题也并许还不如换个角度思考问题来的轻松。

有一个很出名的悖论——“唐·吉柯德悖论”[2]：小说《堂吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都回答一个问题。问：“你来这里做什么？”如果旅游者回答对了，一切都好办；如果回答错了，他就要被绞死。一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。”这时，卫兵们就慌了神，如果他们不把这旅游者绞死，他就说错了，他就得受绞刑。可是，如果他说对了，就不应该绞死他。为了作出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说：“不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律，我们还是宽大为怀算了，让这个人自由。”这个旅游者正是聪明的利用了这条法律的悖论之处，让人抓不到他的过错，保住了他的性命。

二、概率论悖论

概率论作为一门学科在数学当中占了很大的分量，而且几乎没有一个学数学的教数学的不知道概率对本科目的重要性，按约瑟夫·巴特勒的说法，概率是“生活的真正指南”[3]，正如它是现代科学的每一学科的指南一样。史密斯教授和两个数学学生一起吃午饭：

教授：“我来告诉你们一个新游戏，把你们的钱包放在桌上，我来数你们的钱，钱包里的钱最少的那个人可以赢掉另一个人钱包里的所有的钱。”

乔：“如果我的钱比吉尔的多，她就会赢掉我的钱。可是，如果她的多，我就会赢多余我的钱，所以我赢的要比输的多。因此这个游戏对我有利。”

吉尔：“如果我的钱比乔多，他就会赢掉我的钱。可是，如果他的钱比我的多，我就可以赢，而我赢的比输的多，所以游戏对我有利。”

一个游戏怎么会对双方都有利呢？这是不可能的。是不是因为两个参与者都错误的设想自己输和赢的机会是相等的，因而产生了这个谬论呢？这个有意思的悖论出自法国数学家莫里斯·克莱特契克，在他的《数学消遣》书中用领带代替钱包。很容易表明，如果我们作出一个明确的假定来准确的限定条件，他就是一个公正的比赛。当然，如果我们已经得知比赛中的一个人总爱带较少的钱，那么我们就知道这个比赛是不公平的。如果无法得知这类消息我们就可以假定每一个比赛者有从0到任意数量的随便多少钱。可惜，这不可能告诉你两个比赛者的想法错在哪里，书中也未给出确切的说法，有读者有兴趣的可以思考思考。

战国时赵国人公孙龙曾经著有《公孙龙子》一书，平原君礼遇甚厚。其“白马非马”[4]就是他的著名命题。

据说，公孙龙有一次骑马过关，把关的人对他说：“法令规定马不许过。”公孙龙回答说：“我骑的是白马，白马不是马，这可是两回事啊。”公孙龙的“白马”最终有没有过关，我们不得而知。从常人的观点来看，守关的士兵八成认为公孙龙是在诡辩。这也是一个逻辑上“莫能与辩”，现实中不能成立的例子。

辩证法是在对付诡辩论的过程中发展起来的。黑格尔在《小逻辑》中说：“辩证法切不可与单纯的诡辩相混淆，诡辩的本质在于孤立起来看事物，把本身片面的、抽象的规定，认为是可靠的[5]。”

从辩证法的角度看，“白马非马”割断了个别和一般的关系。白马属于个性，特指白颜色的马；马属于一般具有各种颜色的马的共性。公孙龙区分了它们之间的差别，但是又绝对化了这种差别。白马尽管颜色上不同于其他的马，如公孙龙提到的黄马、黑马，但仍然是马。作为共性的“马”寓于作为个性的“白马”之中。“马”作为一般的范畴，包括各种颜色的马，公孙龙的白马自然也不例外。

三、关于时间的悖论

从微小的基本粒子到巨大的星系，整个宇宙都处于永恒的变化中，它那令人难以置信的因果每一微秒都在时间的无情流逝中变化着[6]。没有人能想象出一个没有时间的真实世界。一个亦只在零秒中的客观事物根本不存在。幸好，时间是在均匀的流逝，因而可以测量，伴随着测量，便有了数和方程。纯粹数学也许被当作是“没有时间的”，但在应用数学中，从简单的代数到微积分以致更深的领域，大量问题都是以时间为基本变量的。

时间能够倒流吗？当某项运动反转时，如一个人往回走，或一辆汽车往回开的时候，看起来像是时间倒流了一样，一首歌顺着放是这样，倒着放是那样。生活中大多数事情是不能逆转的，时间好比一支箭，它总是指向一个相同的方向。即使一首歌翻转播放时，音符也还是一个一个随着时间向前推移。我们不可能看见未来，我们只能回顾以往。当你看见一颗以前光年以外的星星的时候，你所看见的已经是一千年以前的情景了。可是，看见过去与身临其境是不同的。

四、总结

一般地说，由于悖论是一种形式矛盾，即是某些特殊的思想规定的产物，它们就不可能是事物辩证性质的直接反映；进而，我们也就不能把它们说成是“特殊的客观真理”，而只能说它们是“歪曲了的真理”。

古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念和突破。

【参考文献】

[1]黄展骥.“矛盾”、“自涉”、“意义”、“悖论”漫谈——批判西方多位著名论者[J].河池师专学报(社会科学版).2004(01)

[2]绕道庆.意义的重建：从过去到未来——《堂吉诃德》新论[J].外国文学评论，1992(04)

[3]周炳飞.数学文化渗透视角下概率统计数学[J].教育教学论坛，2014(20)

[4]江向东.《公孙龙子·指物论》新诠[J].中国哲学史，2011(01)

[5]王元化.读黑格尔《美学》笔记[J].华东师范大学学报(哲学社会科学版)，1998(03)

[6]悖论，百度百科相关介绍