基于LPPL模型的股市暴跌风险预警

陈卫华，蔡文靖

（上海财经大学统计与管理学院，上海200433）

0　引言

股市暴跌在使投资者蒙受巨大损失，引起整个金融体系动荡的同时，也将风险传导到上市公司，危及实体经济发展。若能提前预警股市暴跌的风险，警醒部分投资者，引起监管层足够重视，各自准备应对措施，则有助于缓解暴跌，实现筹码的充分换手，平稳过渡市场风险。

关于泡沫破灭时点能否被预测一直存在争议[1-3]，目前国内针对股市泡沫破灭风险的研究主要集中在定性分析以及事后解读，定量模型研究缺乏，相关研究远不能适应实际需求。因此，本文基于目前较为成熟的LPPL（Log-Period Power Law）模型，在改进模型算法提高求解精度的条件下，利用2015年6月上证指数和创业板指数暴跌前的数据，拟合对数指数，对指数暴跌时点进行预测。得到模型拟合的结果后，引入Lomb谱分析和O-U随机过程对结果进行检验，论证是否存在对数周期震荡性质。在此基础上，对我国股市暴跌风险进行预警，让监管层、市场参与者等对股市泡沫有防范意识，采取合理适当的操作，积极主动应对并尽力化解风险。

1　模型建立

本文主要基于Sornette和Johansen（1999）[4]建立的LPPL（Log-Periodic Power Law）模型，通过拟合对数价格检测泡沫并预测泡沫破灭时点。另外，本文改进了模型算法，在原模型的基础上提高计算效率并且优化结果。在拟合模型的基础上，本文利用Bootstrap技术得到预测值的区间估计，进一步引入Lomb谱分析以及O-U过程检验对模型的参数进行检验，增强模型的解释性以及适用性。

1．1　LPPL模型

典型的LPPL模型以hazard rate为起点，h(t)=q(t)/[1-Q(t)]，q(t)表示t时刻泡沫破灭的概率，Q(t)表示t时刻前的累积函数。利用物理学中的分级概念刻画h(t)及正反馈效应得到LPPL模型：

式（1）中ln[p(t)]表示t时刻对数价格，x=tc-t测度了拐点时刻tc与t之间的间隔，t介于开始日期tstart和结束日期tend之间。为了使模型具有经济学意义，限定B＜0且0＜α＜1，幂律项Bxα刻画了受正反馈机制影响的价格超指数增长，Cxαcos(ωlnx+φ)则表示对这种超指数增长的修正，具有离散尺度不变性特性[5]。通过变化tstart和tend，可以检验模型拟合参数的稳定性。式中有四个非线性参数(α，ω，tc，φ)和三个线性参数（A，B，C），在Sornette的模型中，重写式可以得到lnp(t)=A+Bf(t)+Cg(t),线性参数A、B、C可以通过最小二乘法求解非线性参数得到，具体求解如下：

式（2）中存在四个非线性参数，算法容易陷入局部最优解，导致求解不稳定，计算速度慢。本文在此基础上对算法进行改进，通过相关处理使模型的四个非线性参数减少为三个非线性参数，这样在减少运算的基础上提高了求解精度，更接近于全局最优解。具体处理方法为改写式（1）得到式（3）：

令C1=Ccosφ,C2=Csinφ,则式（3）可以写作：

通过上述处理，非线性参数φ分解得到线性参数C1和C2，然后利用最小二乘法，可以得到四个线性参数的求解方程：

模型具体求解分为两步，第一步，划分网格利用遗传算法寻找符合限制条件的多组最优解；第二步，将第一步得到的各组最优解作为Levenberg-Marquardt非线性最小二乘算法的初始值，以均方误差作为目标函数，取MSE最小的一组解作为最优解。

1．2　参数敏感性检验

为了检验模型参数的敏感性，拟合模型的样本将不断变更。具体方法为固定拟合样本的一端，调整另一端。比如固定拟合结束时点，将开始时点每隔5个交易日依次朝结束时点推进；同理固定开始时点，则从某一时间每隔5个交易日朝最后结束时点推进，通过变化样本区间长度得到模型参数并检验模型参数的稳健性。利用Bootstrap技术重抽样多个区间，得到泡沫破灭时点的区间估计。

值得注意的是，模型所预测的泡沫破灭时点并不代表之后一定就是暴跌，也可能是逐步的下跌或者短暂下跌后继续上行。模型预测的时间段仅仅代表暴跌在该时间段最有可能发生。之所以出现这种情况，是因为考虑经济学中的理性预期模型。按照该模型，即使投资者感受到泡沫存在并觉得泡沫大概率要破灭。依旧有部分投资者继续投资于市场，其目的在于获得与高风险相适应的高回报，该行为依旧是理性的。

1．3　Lomb谱分析

为了检验模型中参数角频率ω所呈现出来的对数周期性，本文利用Lomb谱分析来检测对数周期震荡。相较于标准的傅立叶谱分析，Lomb谱分析可以用来处理不规则抽样数据并且得到类似的结果。对于特定的时间序列，Lomb谱分析返回一系列角频率ω并给出相应的幂律PN(ω)，最大的幂律ωLomb作为Lomb频率估计。按照Sornette和Zhou（2002）[6]的方法，Lomb谱分析通过下述方式进行：

计算残差项公式如下：

式（6）中A1通过计算式（4）的A得到，p(t)表示t时刻真实价格，tc表示预测的暴跌时点，E表示均值，r(t)表示残差项。通过对r(t)进行Lomb谱分析，得到Lomb幂率和频率的关系图，若呈现出比较明显的周期性质即可验证对数周期震荡。

1．4　Ornstein-Uhlenbeck过程和单位根检验

Lin等（2013）[7]针对金融泡沫提出自组织增强模型，如果在泡沫区间对数价格可以归于LPPL的决定性成分，则LPPL拟合结果残差满足Ornstein-Uhlenbeck（O-U）过程。LPPL拟合残差可以转换为AR（1）过程进行验证，因此利用单位根检验可以进行验证。本文使用Phillips-Perron和Dickey-Fuller单位根检验。拒绝零假设表示残差是平稳的，符合O-U过程。

2　实证分析

2．1　数据说明

本文的研究区间为2014年1月2日至2015年9月30日，选择这一区间是因为该区间涵盖了前述定义的泡沫的五个阶段，具有代表性。对于这轮泡沫来说，泡沫的产生和生长可以和社会无风险利率下沉、国企改革等结合起来。在货币当局多次降准降息以后，市场无风险利率下沉，资产价值对应上升，股市开始发力。本文的研究标的为上证指数和创业板指数。选取上证指数的主要原因在于上证指数是反应我国股市状况的一个典型指数，选取创业板指数的主要原因在于创业板从2014年开始一路上扬，受到大家的关注和讨论，两个标的各具有侧重性也具有典型性。

本文拟合模型的区间构建如下：①固定结束时间为2015年5月20日，起始时间从2014年1月2日每五个交易日依次推到2015年1月5日；②固定开始时间为2015年1月5日，结束时间从2015年4月1日每五个交易日依次推到2015年6月5日。

在第一个拟合程序中，共得到50个区间，第二个拟合程序共得到10个区间。本文指数数据来自Wind数据库，对指数取对数，分析工具为Matlab。

2．2　LPPL模型结果及分析

图1和图2是对上证指数取对数并代入LPPL模型进行拟合后得到的结果。

图1 变更起点，置信区间较窄，预测效果较好

图1拟合区间为2014年1月2日至2015年5月20日，固定拟合区间段终点为2015年5月20日，起点变更从2014年1月2日每隔5个交易日到2015年1月5日。变更起点主要检验起点的选取对预测结果的稳健性。拟合样本总量为50个，按照模型限制条件筛选出有效解27个。图1中虚线条表示暴跌前的上证指数实际走势，第1根竖线表示拟合所用数据终点，灰色区域内竖线表示暴跌实际发生时点。第一根竖线后的趋势线表示上证指数暴跌的实际走势和预测走势。灰色区域表示预测的暴跌时间在80%置信水平下的置信区间。从图1可以看到，完全利用暴跌之前的数据变更起点得到的暴跌预测区间覆盖了实际暴跌时点，具有较好的预测效果。

图2 变更终点，置信区间较长，多数结果靠近实际

图2拟合区间为2015年1月5日至2015年6月5日，固定拟合区间段起点为2015年1月5日，终点变更从2015年4月1日每隔5个交易日到2015年6月5日。变更终点主要检验终点的选取对预测结果的稳健性。拟合样本总量为10个，按照模型限制条件筛选出有效解5个。图2中虚线条表示暴跌前的上证指数实际走势，第1根竖线表示拟合所用数据终点，灰色区域内竖线表示暴跌实际发生时点。第1根竖线后的趋势线表示上证指数暴跌后的实际走势和预测走势。灰色区域表示预测的暴跌时间在80%置信水平下的置信区间。从图2可以看到，完全利用暴跌之前的数据变更终点得到的暴跌预测区间覆盖了实际暴跌时点，但是置信区间较大，进一步分析，可以看到多数样本预测的暴跌时点在真实值附近，具有较好的参考性。

按照上述方法对创业板指数进行拟合，结果如图3和图4所示。

图3 变更起点，预测置信区间较窄，真实值在预测期间内

图4 变更终点，预测区间变宽，预测值与真实值接近

图3和图4的样本区间与图1和图2一致，每条线的含义与图1和图2中阐述一致，结果表明模型在创业板上预测依旧有效。

表1是模型的参数部分估计汇总，选取的是上证指数和创业板指数变更起点或者终点得到的样本中第一个样本和最后一个样本的参数估计。

表1　部分样本LPPL模型参数估计结果

2．3　Lomb谱分析结果

为了检验上述拟合模型是否呈现对数周期性质，本文引入Lomb谱分析，结果如图5所示。从谱分析结果图可以看出，对上证指数、创业板指数取对数进行LPPL拟合得到的残差进行谱分析，各样本段的峰值都较接近，图形呈现明显的周期效果。证明对数周期性质存在，同时，通过确认大部分的样本的峰值所在位置，能更好地预测暴跌时点。

图5针对四种预测模型的Lomb谱分析表明存在对数周期性

2．4　O-U分析结果

分别选取拟合误差最小的四组样本，对残差进行单位根检验。从而判断暴跌时点是否适合Ornstein-Uhlenbeck过程。检验结果如表2所示。

表2　残差单位根检验

从表2可以看出，四个序列均满足平稳性检验。说明暴跌时间服从O-U随机过程，不局限于正态分布，呈现出对数周期性质。

3　结论和建议

本文利用改进算法的LPPL模型对我国2015年6月份上证指数、创业板指数的暴跌进行了预测，利用Bootstrap技术得到预测区间，结合Lomb谱分析和O-U随机过程单位根检验对模型参数进行检验。研究发现两个指数在暴跌前均呈现明显的伴随对数周期震荡的超指数增长特征，两个指数的泡沫破灭时间均落在改进的LPPL模型预测的80%置信水平下的置信区间内，且暴跌时间点与模型预测的时间点接近。

本文的回溯结果表明LPPL模型能较好地刻画伴随对数周期震荡的超指数增长，Lomb谱分析以及O-U过程检验也支持了这种论证。模型利用股灾发生之前的数据，准确及时地捕捉到暴跌的区间，说明对暴跌的预测在适用的模型及严谨的检验下是可行的。利用这些模型实时研判，可以起到预警作用。本文通过变更回溯起点和终点，进行多次拟合发现改进的LPPL模型参数稳定，敏感性较低，在实际使用中具有稳定性和可适用性。然而，值得注意的是，预测的暴跌时点只是表明股市暴跌的概率较大，并不一定代表随后就会发生暴跌。

根据上述结论，本文建议监管层密切关注泡沫形成的超指数增长特征。利用定量分析的方法，结合其他观测指标，及时诊断股市泡沫，并在合适时期对市场参与者预期进行引导，采取相应措施未雨绸缪。而市场参与者可以借鉴本文的研究方法，跟踪市场，采取灵活策略合理应对，尽量规避风险并减少损失。

参考文献：

[1]Rosser J B,Econophysics and Economic Complexity[EB/OL].http://cob.jmu.edu/rosserjb.

[2]Gurkaynak R S.Econometric Tests of Asset Price Bubbles:Taking stock[J].Econ.Surveys,2008,22(1).

[3]Johansen A,Sornette D.Financial‘Anti-bubbles’:Log-periodicity in Gold and Nikkei Collapses[J].Int.J.Mod.Phys.C,1999,10(4).

[4]Johansen A,Sornette D,Ledoit O.Predicting Financial Crashes Using Discrete Scale Invariance[J].Journal of Risk,1999,1(4).

[5]Sornette D,Johansen A.Large Financial Crashes[J].Physiea A,1997,(245).

[6]Sornette D,Zhou W X.The US 2000—2002 Market Descent:How Much Longer and Deeper?[J].Quant.Finance.2002,4(2).

[7]Lin L,Sornette D M.Diagnostics of Rational Expectation Financial Bubbles With Stochastic Mean-Reverting Termination Times[J].The European Journal of Finance,2013,19(5).