基于等效误差法的凸轮磨削算法研究

隋　振, 苏振东, 徐　峰

(吉林大学 通信工程学院, 长春 130022)

0　引　言

数控机床正在向高速、 高精度的方向发展, 由于凸轮作为各种自动化机械中广泛应用的零部件,所以对凸轮磨削平台的研究和轮廓控制问题就显得至关重要。在轮廓控制中, 系统必须遵循所需的曲线(轮廓)的配置空间, 所采用的时间系统达到特定的点并不是主要关注问题。为提高数控机床的加工精度, 传统的研究方法是通过提高单轴控制性能, 减小轮廓误差。两种典型的方法是前馈控制器[1]和零相位误差跟踪控制器(ZPETC： Zero Phase Error Tracking Control)[2], 但此类方法只能提高单轴的跟踪误差, 轮廓误差仍然有较大的偏差, 进而双轴联动的控制思想就被陆续提出。Koren[3]针对双轴系统的轮廓控制问题, 提出交叉耦合控制(CCC： Cross-Coupling Control)方法减小轮廓误差, 交叉耦合观念并不复杂, 加上结合前馈摩擦力补偿等研究, 遂成为现今轮廓控制领域的主流。Chiu等[4,5]提出了任务坐标系(TCF： Task Coordinate Frame)的观点, 将各轴误差进行坐标转换至切线方向与法向方向, 相当于每个运动轴进行逆转换, 使用近似的误差表示轮廓误差。Lo等[6]提出了切向轮廓控制(TCC： Tangential Contouring Controller)算法, 通过建立坐标转换矩阵, 将笛卡尔坐标系下的跟踪误差转换为切向轮廓坐标系下的误差, 然后再针对转换后的误差分量设计控制器, 它仅适用于两轴系统。隋振等[7]将切向轮廓控制策略引用到凸轮磨削控制系统当中, 并提出一种位置跟踪补偿算法与之相结合, 有效的减少了凸轮磨削过程中的跟踪误差和轮廓误差。以上方法只能处理线性轮廓误差关系, 轮廓误差只能用近似估测的方法计算。为解决近似计算轮廓误差问题, Chen等[8]提出了新的轮廓控制算法, 结合特殊的坐标转换观点及非线性的控制器设计理论, 利用坐标转换的观点, 将一个n轴的控制系统的等效误差变换为n-1个等效轮廓误差和1个切线误差, 设计控制器使这n个等效误差稳定, 达到轮廓控制的目的。利用曲线隐函式的优点得到代数方程, 进一步提高了等效误差法在轮廓控制方面的有效性。王立梅等[9,10]对等效误差法也进行了深入研究, 并将其应用于XY平台上, 取得了良好的效果。

笔者将等效误差法引用到凸轮磨削平台(XC平台)上, 以等效轮廓误差和切线误差为状态变量建立非线性误差动态模型。为解决等效误差法的路径函数不适用于复杂曲线的难点, 采用造型功能强大的B样条曲线插补对加工序列值曲线路径进行给定, 同时利用Sylvester隐函式求解出序列值曲线的代数方程, 确定等效轮廓误差。根据稳定化理论进行控制器的设计, 运用反馈线性化与极点配置方法使等效误差动态稳定, 以提高磨削精度, 达到凸轮磨削加工的精度要求。

1　凸轮磨削平台的等效轮廓误差数学模型建立

1.1　等效误差模型原理

等效误差法是针对跟踪问题设计的控制理论, 可适用于非线性系统, 利用参数曲线隐函式表示式的优点, 替代实际轮廓误差的参考效用, 直接对控制系统进行设计, 使其输出期望的路径。

对于XC平台控制系统, 其动态方程可表示为

(1)

或向量形式

(2)

图1　等效误差Fig.1　Equivalent errors

由于隐函式的本质, 即当x(t)∈S时,P(x)为零； 反之x(t)不在目标曲线上时,P(x)则为一非零向量n-1维向量ε, 根据Chen等[8]提出的等效误差法, 利用隐函式的本质, 选取此数值作为等效轮廓误差, 若将此误差控制为0, 则代表目标点在控制轨迹上； 然而等效轮廓误差的减小不能保证系统会完全跟随指令运动, 若完全判断路径的误差还需定义切线误差, 再将跟踪误差和命令方向的内积值e称为切线误差, 组成完整的n维坐标转换。如图1所示, XC平台的误差模型为

(3)

因此, 将XC平台系统的动态方程转换以等效轮廓误差法为状态变量的动态方程为

(4)

其中Ω和Γ为关于位置给定和位置输出的函数,u为轮廓误差补偿量。

(5)

(6)

其中Hj是P(x)第j个的Hessian矩阵, 记为

(7)

1.2　XC平台等效误差模型建立

在进行凸轮磨削时, 生产厂家会给出升程表数据, 可将升程表数据计算得到凸轮轮廓曲线, 通过凸轮磨削过程中凸轮转角与砂轮位置的联动关系确定输入数据的序列值, 分别记为C、X轴指令位置并由Xdc、Xdx表示。

将Xdc与Xdx的关系用代数方程表示记为XC平台系统的指令轨迹, 可定义为

Pd(c,x)=0

(8)

根据输入序列值的代数方程, 将等效轮廓误差定义为

ε(t)=P(c(t),x(t))

(9)

如图1所示, 当实际输出的运动轨迹P(c,x)趋近于0, 即定义的等效轮廓误差趋近于0时, 实际输出轨迹P(c,x)在法方向上也趋近于指令路径Pd(c,x), 实际凸轮轮廓误差趋近于0。

切线误差为

(10)

用等效误差表示系统动态为

(11)

2　B样条曲线的特性及其隐式化

2.1　B样条曲线的基本表现形式

B样条曲线方程[11]定义为

(12)

(13)

其中di,i=0,1,2,…,n为B样条控制顶点, 又称为德布尔点, 依次连接而成的折线称为控制多边形;Ni,k(u),i=0,1,2,…,n称为k次B样条的基函数, 其中每个称为规范的B样条。它是一个由非递减参数u构成的序列U所决定的d次分段多项式, 即d次多项式B样条。其中

U={u0,…,um}={a,…,a,ud+1,…,um-d-1,b,…,b}

(14)

其中ui∈[a,b]称为节点,U称为节点向量, 通常定义：u0=…=ud=a=0和um-d=…=um=b=1。B样条曲线可由分段形式表示为

(15)

其中Ck(u)是无限可微函数, 是C(u)的第k段。B样条曲线至少被节点分成m-2d段光滑曲线。

2.2　B样条实时插补算法

笔者将凸轮给定的升程表进行处理得到了输入的序列值, 可作为B样条反算法中的型值点。由于凸轮输入的曲线不太复杂, 选3次非均匀B样条反算法对其求解控制顶点和节点向量。通过求解出的控制顶点和节点向量对其进行实时插补[12]计算。

在二维欧氏空间中, 3次B样条曲线的方参数定义矢量方程如下

(16)

还可用参数方程表示为

C(u)=(Xdc(u),Xdx(u))=Au3+Bu2+Cu+D

(17)

利用泰勒级数, 选择插补公式一阶近似为

(18)

其中T为模拟仿真时间。

2.3　B样条的隐式化

以等效轮廓误差为被控对象时, 需用输入指令曲线的代数方程表示等效轮廓误差, 而且一般很难将整段的参数曲线转换为代数方程, 但在每段中却很容易实现, 都可将式(15)中的参数曲线转换为代数方程, 可通过Sylvester隐式化方法实现。

得到3次B样条隐函式方程为

(19)

可转化为如下方程

ci8xc+ci9xx+ci10=0i=1,…,m-2d

(20)

式(19)中的矩阵用符号A表示, 求解隐函式条件为

det(A)=0

(21)

3　凸轮磨削平台的轮廓控制器设计

为验证策略的性能, 笔者通过对已搭建的凸轮磨削系统模型理论推导和分析[13-15], 得出2个轴的闭环传递函数简化为

(22)

(23)

XC平台系统动态表达式为

(24)

等效误差动态系统状态变量为

(25)

动态方程为

(26)

其中

(27)

(28)

其中i为插补的段数,i=1,2,…,m-2d。轮廓误差的补偿量为

(29)

其中ν是需设计的等价输入值, 可得出线性输入的状态关系

(30)

(31)

(32)

通过状态变化和输入变换将原系统的非线性系统问题转化为线性系统, 对上述线性系统适当选取反馈增益及线性状态反馈控制规律

(33)

将非线性系统转换为线性系统, 如下所示

(34)

(35)

由式(34)、 式(35)可见, 只要选取α1>0,α2>0,β1>0,β2>0即可使系统稳定, 即等效轮廓误差和切线误差收敛于0。

基于反馈线性化的凸轮磨削平台控制结构如图2所示。

图2　凸轮磨削平台的控制结构框图Fig.2　Control structure block diagram of cam grinding platform

4　仿真实验

该实验中选取的凸轮如图3所示, 模型中输入指令曲线如图4所示。

通过对升程值求取序列值曲线的控制顶点和节点矢量。样条曲线阶次为3, 仿真时间T选择36 s。

图3　凸轮轮廓图　 　　　　 　　　　　 　 图4　输入输出指令曲线　　 　　　　　　Fig.3　Cam profile　　　　　　　　　 Fig.4　Input/output instruction curve

节点矢量

U={0,0,0,0,0.277 5,0.055 5,…,0.947 269 413 858 605,0.975 022 353 933 023,1,1,1,1}

控制顶点如表1所示。

表1　输入指令值的控制顶点列表

经过反复配置极点：α1=10,β1=25,α2=10,β2=25, 通过sinulink仿真得到各误差曲线图。

由图4可见, 单独使用B样条曲线插补时, 其曲线跟踪较为平滑, 但曲线有所偏差, 精度不够, 即存在明显的跟踪误差, 而综合使用B样条插补和等效误差法后输出的曲线与指令曲线基本吻合。为进一步验证跟踪精度, 分析两种情况下的位置跟踪误差如图5、 图6所示, 可见综合使用B样条插补和等效误差法后跟踪误差有很大的提升。

图5　C轴位置跟踪误差曲线　　　　　　　　　图6　X轴位置跟踪误差曲线　Fig.5　The position tracking error curve for C-axis　　　Fig.6　The position tracking error curve for X-axis

图7、 图8分别为综合使用B样条插补和等效误差法后凸轮磨削平台的等效轮廓误差曲线和切线误差曲线, 可见实际轮廓误差在-2～20 μm之间。仿真结果表明, 基于等效误差法和B样条曲线的凸轮磨削算法使凸轮磨削精度大大提高, 解决了以往近似假设求取凸轮轮廓误差的问题, 直接有效地降低真实轮廓误差, 且在控制器设计方面更加简单。

图7　等效轮廓误差曲线　　　　　　　　　 　　 图8　切线误差曲线　　 　　Fig.7　Equivalent contour error curve　　 　　　　　Fig.8　Tangent error curve

5　结　语

笔者将等效误差法引用到凸轮磨削平台, 将等效轮廓误差作为被控对象进行控制器设计, 并将B样条实时插补算法和等效轮廓误差相结合, 建立了凸轮磨削平台的非线性等效误差模型, 使凸轮磨削问题转换为稳定化问题, 解决了以往近似假设求取凸轮轮廓误差问题。同时运用反馈线性化与极点配置方法将计算得到控制输入值补偿到两轴, 从而对轮廓误差进行补偿, 使轮廓误差趋近于零,避免了传统控制无系统化参数调整规则、 近似求取轮廓误差不精确等问题对凸轮磨削加工精度造成的影响。仿真结果表明所设计控制系统有效地提高了凸轮磨削平台的磨削精度。

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