数学是讲道理的

薛正桧

导读：

有理才能让孩子信服，我们要教有道理的数学。本文以俞正强老师“除法竖式”为例，以片断赏析的形式介绍了三个策略，即数学的道理可以在问题的发现中萌芽，数学的道理可以在过程的描述中呈现，数学的道理可以在材料的更新中彰显。

听俞正强老师的课，你会被他幽默风趣的语言所吸引，被他夸张、搞笑的肢体动作所折服。他的课堂看上去节奏很慢，慢得会让你有一种错觉：这不是课堂，仅仅是一次拉家常。但细细品起来，你又会感觉余音绕梁、回味无穷。他会在我们习以为常的、没有风景的地方找到风景，在我们感觉理所当然的、无需阐述的地方挖出内涵，然后以“种子”的力量叙说数学的每一个据、每一个理。再听“除法竖式”一课，这种感觉愈加强烈。

【片断一】有问题好，还是没问题好？

师：有一天，我给二年级的小朋友上课，大家看——这是加法的横式、加法的竖式、减法的横式……除法的横式、除法的竖式。我们都会了是吧？（注：上课的是三年级学生）对，我在给二年级小朋友上这个除法竖式的时候，他们的意见很大。你猜他们有什么意见啊？

生：猜不到。

生：可能他觉得，这个除法竖式为什么要这样写，而不是直接被除数写在上面，除数写在下面，然后写个除号，再一横。

师：你写写看。

生：不知道。

生：我觉得，他们是想问：为什么下面要写个“0”？

生：为什么要写两个“15”？

生：二年级提出的意见，可能就是说除法竖式要像加、减、乘那样列。

……

师：我想问一问大家，在二年级学这个除法竖式的时候，你们有没有过这个二年级小朋友的想法？（举手表决，两个小朋友没有这个想法）

师：我们这么多人有这个想法，你作为“有”的代表，我来采访一下你。你这个想法向老师提问过吗？

生：没有。

师：为什么不问啊？

生：因为老师说是那样写，然后我就这样写了。

师：他的意思是“有什么好问的”，对吧？

生：没有什么好问的！

师：问题是有的，但有什么好问的？是吧？你为什么会这么想呢？

生：因为老师说的是对的。

生：老师说这样就这样了。

生：我们也就脑子里想想罢了，按老师这样列就可以了。

生：问了也白问。

师：（对没举手的两个人说）这么多小朋友都产生了问题，你们为什么没问题呢？

生：来不及想就知道了。

生：我之前看过我妈妈就是这写的。

师：妈妈的写法把他想的时间给省略了，来不及想。请对这个事发表评论：有问题好，还是没问题好？

……

【赏析】以成人的视角，重新看除法竖式，我们会发出这样的疑问吗？估计很难，因为我们往往把这一切看成理所当然，誠如课上部分孩子说的那样“有什么好问的”。但孩子们会怎么想呢？由于认知的局限加上表达的不成熟，在第一次接触除法竖式时，如果没有特别强烈的材料对比的刺激，他们一般不会明确提出疑问。但他们的潜意识中有没有这种疑问呢？从俞老师的这节课看是有的。我们知道，个体知识的发展通常遵循人类知识发生的过程，历史上除法竖式的出现也不是一帆风顺的，它是在对类似加、减法竖式的模仿中产生了困惑，进而进行的一种创造性表达。俞老师的高明之处就在于，他再现了这一段历史，用独特的视角，让学生的学习从真正的源头开始。

2011版课程标准特别强调了对学生问题意识的培养，并把它分解为四个方面，即发现与提出问题、分析与解决问题，其中发现与提出问题是前提，是基础。爱因斯坦说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅仅是一个教学上或实验上的技能而已。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，都需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”巴尔扎克也说：“打开一切科学的钥匙都毫无异议地是问号，我们大部分的伟大发现都应归功于‘如何，而生活的智慧大概就在于逢事都问个‘为什么。” 把一切学问都看得容易，而自觉无一可疑的人，一定是未曾学习的人。这节课中，当孩子们都产生了问题后，俞老师还特地安排了评论“有问题好，还是没问题好？”让孩子们在反思中进一步增强了对“多问几个为什么”的认同感，而数学的道理就在这些问题的发现中萌芽了。

【片断二】因为它符合除法的本身意思

师：我告诉二年级的小朋友，这是“规定”。但他们对我说“那规定要讲道理啊”。究竟有没有道理呢？我们来分一分。

师：现在要把这15个东西平均分成3份，请一个小朋友帮我分一分。

学生到黑板上去分圆片，如下图。

师：同学们来看刚才分的过程，首先老师拿来了多少？

生：15个。

师：被他一分，还剩几个了？

生：0个了。

师：老师从几个到几个了？

生：15个到0个了。

师：这15个到哪里去了？

生：分到小盘子里了。

师：被这个小家伙拿走了，是不是？他也拿了几个？

生：15个。

师：好，我的15个是一堆的，他的15个是怎么样的？

生：分开的，3个5。

师：所以，这个过程当中一共出现了几个15？

生：2个。

师：一个15是老师的，一个15是小家伙的。但这两个15有差别吗？

生：有。

师：我是一个的，一个15，他是3个的，3个5，15等于15，所以被他拿得一个也不剩了，这个0是我的。

师：现在我们来回忆一下，这两个竖式，哪一个竖式比较符合这一个过程？

生：右边的。

师：为什么除法竖式要这样写？

生：因为它符合除法的本身意思。

师：后来，那位二年级小朋友说：“原来除法的这个竖式还是很讲道理的嘛！”

【赏析】是啊，除法竖式为什么要这样写呢？这样规定有道理吗？数学是理性的、严谨的，但也是人文的、有情有义的。“规定”的教学如果不讲“道理”，只会扼杀儿童的好奇心和探究欲，学生只会把“知识”当成沉重的负担，把“方法”当成笨拙的工具。数学规定的教学要通过适宜的方式，在适当的时机让孩子感受其合理性，让他们发现规定后面的思想，体验冰冷后面的温情。俞老师以一种儿童能理解的方式，把他们的思维外显，巧妙地借“把15个东西平均分成3份”这一操作性极强的活动，让他们在两种竖式的对比中自然接纳了新的竖式。在新竖式中，“原有的数量”“分的数量”“剩下的数量”以及“平均分的份数”“每份的数量”等关键信息被一一呈现了出来，这样书写的优势太大了，因为它符合除法本身的意思，它是对事实的再次呈现。而学生说出的“原来除法的这个竖式还是很讲道理的嘛！”就水到渠成。

课听到这里，你是不是对俞老师深挖知识内涵的功力赞不绝口啊！其实这源于他多年来对“种子课”的潜心研究。他认为，在不同课之间，知识是可以迁移的，因为有些知识彼此之间有类似的结构。迁移是学生学习的一种重要能力，这种迁移能力在生长过程中可以不断完善，在后续的体验中可以逐渐臻于成熟。“种子课”就是这些可供迁移、可供生长的关键课。“除法竖式”是一节种子课，新的除法竖式对学生来说，认识上是一次飞跃，对待种子课，俞老师舍得花时间，舍得花力气。除法竖式就是对平均分过程的一种记录。数学的道理在过程的描述中呈现。从课的进程来看，俞老师抓住了新知识发生的基点、发展的节点，并对后续相关内容的学习产生了极强的指引、辐射作用。

【片断三】这个变的过程在哪里？

师：45÷3的竖式有两种写法。

师：为什么左边的是错的，右边的是对的？

生：……

师：我是这样让他明白的。1个大的表示10，1个小的表示1，我拿来了45个，你来分一分，要平均分成3份。应该怎么分？他是先分小的？还是先分大的？

师：当然是先分大的。

师：接下去怎么分？

学生到黑板上去分圆片，如下图。

师：这样分，公平吗？要平均啊，你平均了吗？谁能平均？1个10，5个1。

生：把那个10换成10个1。

老师按学生说的方法把1个大圆片换成10个小圆片。

师：同学们，现在会分了吗？ （按15÷3的方法就可以了）

生：会了。

师：这个45是分几次来平均的？

生：两次。

師：关键的一点在哪里啊？

生：把1个10变成了10个1。

师：这个变的过程在哪里？（圈出式子中的15）

师：这位二年级的小朋友发现45÷3是分两次的，第一次是把十位上的数平均，第二次是用个位来平均的。于是他就喜欢上了哪一种竖式啊？

生：第二种。

【赏析】在前面的学习中孩子已经认可了除法竖式的新写法，当15÷3更换为45÷3时，表面上看道理一致，为了记录这个分的过程，只要把竖式中15换成45，商由5改成15就可以了。但事实上我们的除法竖式却并没有这样写，它被分成了两步，是一个长长的竖式。虽然我们可以从商的位数上去说明，但道理在哪呢？我们怎样才能讲透这一点呢？教材中提供的材料是“4捆小棒加5个小棒”，而俞老师提供的材料是“4个大圆片加5个小圆片”。在教学中选用教材中的材料，学生分起来得心应手，每份15个，因为学生可以自如地把捆着的小棒拆开。在他们眼里，散着的10根小棒是10，捆着的1捆小棒也是10，这没有什么区别。所以他们在分的过程中就会直接得出每份15根，没有分两次的痕迹，而这恰恰是商是两位数的除法中最关键的一环。改用大、小圆片后，模糊的操作被舍弃了，学生被“逼”向精细的操作。学生知道要先分大圆片，再分小圆片（本质是高位算起）。他们创造性地将第一次分剩下的大圆片换成小圆片，与原有的小圆片合并后再分等。大、小圆片的材料结构更符合十进制计数的认知结构，因为我们要分的是“4个十和5个一”，而不是“45个一”。俞老师通过材料的更新，彰显出商是多位数除法的本质，令人拍案叫绝。

多年前，吉利汽车老总李书福在谈“民族产品如何接轨国际”时，曾总结过三个策略，即跟随、突破、超越。首先要加强学习，紧跟国际一流产品，站在潮流的最前面；其次要能把脉出产品的优、劣，对局部问题进行专项攻关，争取一两个方面有所突破；最后也是最难的，那就是扎根用户需求，从源头开始创新，做出自主品牌，实现弯道超车。细细想来，在对教材的处理上我们何尝不应该如此呢？先要吃透教材，弄清意图，保证有一个正确的方向。在此基础上，根据学情，对教材进行个性化、本土化处理，避免被教材束缚，争取有突破。一般情况到这一步就已经不错了。如果有更高的追求，不妨向俞特学习，以儿童的真实学习为源，以数学的内部体系为支撑，重组教材，超越教材，以自己的教学智慧带领学生去领悟数学中的一个个道理。这节课中，俞老师通过两次不一样的“平均分”实现了对教材的超越，让每一个孩子明白除法竖式的“理”。大道至简，“跟随、突破、超越”适用于一切学习。

（作者单位：浙江省宁波滨海国际合作学校）

□责任编辑 李杰杰

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