椭圆和双曲线的焦点弦长

摘 要：教学过程中，我们强调了抛物线的焦点弦的相关性质，特别指出其焦点弦长.通过探究得到了椭圆及双曲线的焦点弦长.

關键词：椭圆；双曲线；焦点弦

本文只讨论了斜率存在的情况，对于斜率不存在，代表通径 ，在此不再复述.

定理1 过椭圆焦点的直线斜率为k，交椭圆于A，B两点，则AB= （a>b>0）

证明 令A（x1，y1），B（x2，y2），当椭圆焦点在x轴，设椭圆方程E： + =1（a>b>0），则其左焦点F1（-c，0），故直线lAB：y=k（x+c）.将直线lAB代入E整理有（b2+a2k2）x2+2a2ck2x+a2k2c2-a2b2=0

所以x1+x2=- ，x1·x2=

即AB= = =

当椭圆焦点在y轴，设椭圆方程E： + =1（a>b>0），则上焦点F1（0，c），故直线lAB：x=k（y-c）将直线lAB代入E同理可知AB= .

定理2 过双曲线焦点的直线斜率为k，交双曲线于A，B两点，则AB=

证明 令A（x1，y1），B（x2，y2），当双曲线焦点在x轴，设双曲线方程E： - =1，则左焦点F1（-c，0），故直线lAB：y=k（x+c）.将直线lAB代入E整理有（b2-a2k2）x2-2a2ck2x-a2k2c2-a2b2=0

所以x1+x2=- ，x1·x2=

即AB= = =

当双曲线焦点在y轴，设双曲线方程E： - =1，则上焦点F1（0，c），故直线lAB：x=k（y-c）将直线lAB代入E同理可知AB= .

例 过双曲线 - =1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点.求AB.

解：由定理2知，a2=3，b2=6，k2= ，则AB= =

参考文献：

[1]李庆兵，曾峥，苏友马.圆锥曲线的又一个共同性质[J].上海中学数学，2011（5）.

[2]杨生华.关于圆锥曲线一个有趣性质的研究[J].理科爱好者，2014（45）.

[3]杨生华，舒巧云.一个与椭圆有关的定值问题的研究[J].中学数学研究，2016（11）.

[4]林新建.圆锥曲线一个有趣的三圆性质[J].中学数学研究，2008（12）.

编辑 谢尾合