追“本”溯“圆”

嵇如龙

“圆”的考点比较多，又比较分散，综合程度比较高，让不少同学产生“畏惧”心理.但仔细梳理近几年来的中考题，我们不难发现中考关于“圆”的考查重点突出，甚至出现“常态化”的考题，而更为巧合的是，这些考题几乎都给人一种似曾相识的感觉.

【例题回放】

例1 如图1，AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点 E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数.

图1

例2 已知：BC是⊙O⁀的直⁀径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，BE交AD于点F.

（1）∠ACB与∠BAD相等吗？为什么？

（2）判断△FAB的形状，并说明理由.

图2

【分析点拨】这是苏科版《数学》中两道关于圆周角的典型例题.通过对这两道例题的学习，同学们应掌握一种方法和一种数学思想.一种方法是圆中一种常用辅助线：已知直径，构造所对圆周角；已知圆周角是直角，连接两点造直径.一种数学思想是“转化”的思想，即利用“同弧所对的圆周角相等”进行转化，这是中考必考知识点，在近几年的中考中就有不少类似的题目.

【中考运用】

1.（2016·东莞二模）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上.当P在AB上方而C在AB下方时（如图3），判断PO与BC的位置关系，并证明你的判断.

图3

【分析点拨】如图3，根据折叠的性质得∠1=∠2，加上∠A=∠1，则∠A=∠2，再根据圆周角定理得到∠A=∠3，所以∠2=∠3，于是可根据平行线的判定方法判断PO∥BC.

2.（2016·泸州）如图4，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC.求证：BE是⊙O的切线.

图4

【分析点拨】欲证明BE是⊙O的切线，只要证明∠EBD=90°，即证∠DBC+∠EBC=90°，下面只要根据课本例题中所介绍的添加辅助线方法和转化数学思想就不难得出结论了.

【解法归纳】通过上述几道中考题不难发现解决问题的关键是角的转化，这是我们学习“圆”的基础，也是学习“圆”的一个重要数学思想，根据同弧所对的圆周角相等来进行转化也是这几题的共同特征.可以说，同学们感觉学习“圆”有难度就是因为不会找等角，不会进行等角的转化，这需要在平时的课堂上多留意老师和其他同学的分析过程，大胆尝试，不断总结反思.

“圆”的另外一个重要考点就是有关切线的性质与判定，翻开每份中考试卷几乎都会碰到，常见的考题几乎形成了固定的格式，其实只要掌握下面这道课本例题的解题思路和方法，就能做到举一反三.

【例题回放】

例3 如图5，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，DE与AC有怎样的位置关系？为什么？

图5

【分析点拨】通过对本题的学习，同学们能够掌握关于切线证明的常见思路，判定切线时“连半径，证垂直”，已知切线时可以“连半径，得垂直”.即：证切线找垂直，知切线得垂直.

【中考运用】

1.（2016·西宁）如图6，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.求证：CD是⊙O的切线.

【分析点拨】连OD，根据圆周角定理得到∠ADO+∠BDO=90°，而 已 知 ∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠BDO，于是∠CDA+∠ADO=90°.

图6

2.（2016·陕西）如图7，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G.求证：（1）FC=FG；（2）AB2=BC·BG.

图7

【分析点拨】

（1）由平行线的性质得出EF⊥AD，由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D，证出∠DCB=∠G，由对顶角相等得出∠GCF=∠G，即可得出结论.

（2）连接AC，由圆周角定理证出AC是⊙O的直径，关键是要根据“母子三角形”得出∠DCB=∠CAB，证出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，证明△ABC∽△GBA，得出对应边成比例，即可得出结论.

图8