问题成系列 做二要想一

李长春（特级教师）

不少中考解答题都由2～3个小题目组成，命题者常将一些有难度的题目分成几个小题目，以“台阶”式的设计将问题不断深入，第1问通常比较简单，容易入手，值得注意的是第1问往往也为第2、3两问的解答提供了一种思考的方向，我们解题时如果能根据命题老师所给的“路标”，拾级而上，踩点解答，往往能化难为易，达到事半功倍的效果.

例1 （2017·杭州）（本题满分8分）如图1，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC.

图1

（1）求证：△ADE∽△ABC；

【试题分析】在（1）中，结合条件在两个三角形中可找“两角分别相等”，事实上，它们已经有了一组公共角，再找出∠EAF和∠GAC的余角相等即可；在（2）中可以转化为哪两条边的比成为解题的关键，此时，结合（1）中的结论△ADE∽△ABC可得到∠ADF=∠B，再证得△ADF∽△ABG，将转化为即可.

【踩点解答】（1）证明：

∵AF⊥DE，AG⊥BC，

∴∠AFE=90°，∠AGC=90°，

∴∠AEF=90°-∠EAF，∠C=90°-∠GAC，

又∵∠EAF=∠GAC，

∴∠AEF=∠C，

又∵∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△ABC（.踩点1：证两个角对应相等，4分）

（2）∵△ADE∽△ABC，

∴∠ADE=∠B，

又∵∠AFD=∠AGB=90°，

∴△AFD∽△AGB，（踩点2：证两个三角形相似，6分）

∵AD=3，AB=5，

【点评】解题时注意题目前后的连贯性，当第（2）问遇到困难时，一定要回头看第（1）问求证的结论，由这个结论还能得到什么？也许思路就在结论的延续中.

例2 （2017·武汉）（本题满分10分）已知四边形ABCD的一组对边AD，BC的延长线相交于点E.

图2

（1）如图 2，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED·EA=EC·EB；

图3

（3）如图4，另一组对边AB，DC的延长线相交于点F，若cos∠ABC=cos∠CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）.

图4

图5

图6

【踩点解答】（1）证明：

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴∠ABE=∠CDE，

又∵∠E=∠E，

∴△EAB∽△ECD，（踩点1：证两个角对应相等，2分）

∴ED·EA=EC·EB.（踩点2：证得相似后得到结论，3分）

（2）如图5，过点C作CG⊥AD于点G，过点A作AH⊥BC交CB的延长线于点H.

∴DG=3，CG=4.

∵△CDE的面积为6，

∴ED=3，∴EG=6.

∵AB=12，∠ABC=120°，

∴BH=6，AH=63.

由（1）中方法得：△ECG∽△EAH，（踩点3：证得相似，求出相应线段，5分）

∴EB=EH-BH=93-6，

S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=75-18 3.

（踩点4：运用转化思想，将四边形面积转化为两个三角形面积之差，并算得结果，8分）

【点评】问题成系列，做二要想一，本题中的第（1）问暗藏模型，解第（2）问可以直接去找这样的模型并应用，第（3）问则对模型进行了适当的演变，但解题的思路还在（1）中，只要我们踩住这个点，问题就可迎刃而解.但需要注意的是，本题的前两问均以“若”开头，都是在假设的前提条件下进行设问的，所以做第（2）问时不能用第（1）问的结论，第（3）问也不能直接运用前两问的结论.正所谓：问题成系列，做二要想一；上题若如果，不能用结果.