数学反思：学生有效学习的应然追求

钱惠峰

在初三数学中考专题复习中，教师普遍会让学生进行大容量训练，学生深深陷入题海，但中考成绩提升却不明显。究其原因，很大程度上是因为教师用自己的思维代替了学生的思维，学生缺乏个性化的理解，没有真正内化为自己的认知。

撰写数学小反思，能有效地调动学生学习的兴趣，最大程度地激发学生的思维，以学生思维代替教师思维，变教师习题教学为学生“讲题活动”，变教师单向传授为学生相互倾听、学生间多向“思维碰撞”。如此，学生的解题思路变得更为开阔，便于寻找最优化的解题方法，同时解题能力大大提高，教师也从学生的交流中获得启发，受益匪浅。

一、什么是数学小反思

这里说的小反思是特指师生在讲题活动中，学生记录对某个解题方法的思考轨迹；或在别人解题思路的基础上获得灵感，找到更好的解题方法，并加以归纳总结，提出一般意义的通性通法，给别人以某种程度上的指点和借鉴；或陈述自己解题的心路历程，以及所走的弯路，让别人引以为戒。这样的数学小反思形式多样，内容具体真实，目的明确，针对性强，有话则长，无话则短，以文字短小、观点鲜明、展示思维亮点见长。

二、数学小反思的意义

写数学小反思有利于提高学生解题能力，优化学生的思维品质。学生解题能力的提高是教师追求的重要目标，但这一目标在某种程度上说并不是教师“教”出来的，而是学生通过自己的习得—体悟—内化逐步形成的。小反思正是学生吐露解题心声的平台，学生把自己的想法真实地记录下来，并从他人的解法中得到启发，进行思路优化组合，在比较中逐渐找到最优化的解法，这是一个正确、全面认识事物的认知过程，任何人都不能替代。

同时，它还有利于锻炼学生的文字表达能力，提高写作素养与探究问题的能力；有利于学生准确表达自己的观点，捋顺思路，为讲题作充分的准备；有利于培养学生善于思考、大胆探索的好习惯，增强智力。

以下是一位学生写的数学小反思：

【案例1】已知直角ΔOAB三条边分别为3、4、5（图1），点P是ΔOAB内一动点，它到三边的最小距离为1，那么点P运动的轨迹是什么图形？它的周长为多少？

由题意可知，满足要求的点围成的封闭图形是ΔDEF，即求它的周长，可先找出各个“关键点”，此点到ΔAOB各边的距离为1，可先考虑一边，若此点到OA的距离为1，则临界点在与OB、AB距离为1的地方，可知在∠AOB和∠OAB的平分线上。同理，∠OBA的平分线也有一点，如此便化无形为有形，又显而易见它与ΔAOB相似，故只需求得任意一边长便能算出其余的长，可谓“万事俱备，只欠东风”。先将DE双向延长，出其不意，将DE牢牢地与已知三角形绑定，明眼人一下就能看出EH还未知底细，可作EI⊥AB，对其行“十面埋伏”之计，由于ΔEIH∽ΔBOA，求得GH，鉴于GH、GD、EH皆已求出，DE便不攻自破，继而DF、EF也可求出，周长也不在话下。

【点评】小作者的文笔优美，引经据典，表达简洁扼要，解题路清晰有条理，是一段不错的数学美文。

三、怎样撰写数学小反思

1.师生间对话（含生生对话）中记录精彩，师生共享

【案例2】如图2，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A'点处，若OB=，tan∠BOC=0.5，求点A'坐标。

求点的坐标，是中考常考的题型，本题求法具有典型性，体现一般的数学思想和方法，请学生讲题是很好的尝试。

师：如何求点A'坐标？

生：求点的坐标，通常的方法是作垂线，过A'作HI⊥x轴。

师：作垂线是关键的一步！

生：接下来就是转化为求线段HO、A'H的长度，一般可以考虑用勾股定理，求出三角形A'HO三边的长度。

师：这三边中有没有已知线段？

生：A'O=1，OH可设为x，下面的问题就是如何用x表示A'H。

师：说得好，如何表示A'H是解决问题的关键！

生：ΔBIA'∽ΔA'HO，A'I=2x，A'H可以用x表示出来！

师：这位学生的思路很开阔，一下子抓住了问题的要害！

生：下面使用勾股定理，建立方程即可，即 。

学生们都会心地点头。

师：有无其他解法或其他思路？

生：ΔABO翻折至ΔA'OB处，联想到翻折中全等三角形，A'Q=CQ，设A'Q=x，在三角形A'OQ中，可先求出x，作A'H'⊥OQ，于是A'H'是三角形A'OQ的高，这是一张经典图（图3），求A'H'自然手到擒来。

大多数学生都点头认同。

生：由翻折的特征，AJ=A'J，OA=1，且tan∠BOC=tan∠OAJ

=0.5，可求出OJ、AJ，再利用ΔOAJ与ΔAA'H相似，即可求出A'H、OH。（图4）

師：太精彩了！（大家热烈鼓掌）该同学抓住翻折的特征，巧妙地把tan∠BOC转化为，再次用相似知识叩开求线段长度之大门，这种解法具有一般指导意义。

【点评】本题求线段长度单纯使用一次相似知识无法完成，单纯使用一次勾股定理也无法完成，需要综合使用相似和勾股定理或使用两次相似知识，同学们根据自己的理解，从不同角度很好地解读了它！请有志于探索研究的同学，把这部分精彩对白记录下来，并附上自己的反思。

以上是上课时的实录片段，在这种“对话教学”情景下，师生间、生生间思维火花碰撞连连，产生共鸣，教师与学生陶醉于其中，教学效果令人震撼！虽然比较费时，在复习阶段只讲一题，但它以一当十，学生可以触类旁通，实践证明，复习效率大大提高。

2.问题研究，学生记录自己思考的心路历程与同伴分享

在批阅完学生的作业后，每天留20分钟的问题研究时间，这段时间是有针对性地指导学生的好机会。所谓问题研究，就是学生对当天所学内容进行消化、反思、吸纳，甚至是与教师进行争辨的学习形式。它不是集体上课，教师要着重倾听学生的真实想法，并为学生提供个性化的指点，师生一对一的对话、学生间的双向交流应是它的最大特征。

【案例3】如图5，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM。那么，当AM+BM+CM的最小值为 +1时，求正方形的边长。

学生求正方形的边长时，普遍作EF⊥CF（图6），在三角形CEF中解决问题，设EF=x，方程为 。

生：以上方程比较烦琐，我的想法是：连AC，作AI⊥EC（图7），注意到∠AEC=45。，∠EAC=105。，故∠ACE=30。，且EC=+1，在三角形AEC中，求得AI=1，所以正方形边长=AE=。

师：作垂线AI还真不容易想到，你是怎么想到的呢？

生：通过观察，能说明∠BEN=15。，即∠AEC=45。，且∠EAC=105。，所以∠ACE=30。，这样三角形AEC就不是普通三角形了，并注意到EC=AM+BM+CM=+1，所以作垂线AI。

师：你说得很好！观察到三角形AEC不是普通三角形是关键，这样作垂线才有意义，分成两个特殊的直角三角形！你的观察能力很强，方法简单，思考得很到位。

笔者及时把她的做法介绍给其他爱动脑的学生，并鼓励他们结合自己的思路与之作比较，把此解法写下来，看看解题方法孰优孰劣？

3.展示解题中“宝贵”的错误资源，不断修正优化，以警示同伴

在中考复习阶段，批阅学生的作业时，大多数教师只是单纯地进行批阅。有些错误确实是学生个体的问题，不一定具有代表性，但有些错误却具有典型性，把它拿出来，展示给学生，有警示作用，可以让学生少走弯路。

【案例4】如图8，在直角坐标系xoy中，点A的坐标为（12， 8），点B、C在x轴上，tan∠ABC= ，AB=AC，AH⊥BC于H，D为AC边上一点，BD交AH于点M，且△ADM与△BHM的面积相等。

（1）求点D坐标；（2）求过B、C、D三点的抛物线的解析式，并求出抛物线顶点E的坐标；（3）过点E且平行于AB的直线l交y轴于点G，若将（2）中的抛物线沿直线l平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为E'（点E'在y轴右侧）。是否存在这样的抛物线，使△E'FG为等腰三角形？若存在，请求出此时顶点E'的坐标；若不存在，请说明理由。

（1）（2）解答省略。

笔者把该作业展示给全班学生评判，学生认为容易想到勾股定理并列出方程，但方程复杂，不易解答，学生普遍有这样的深刻体会！

师：究其原因，学生普遍愿意使用勾股定理，使用简单，好理解，但列出方程后却发现，解起来并不简单！这也是中考复习中学生经常碰到的“难题”。

师：在利用GF=GE'时，GF可以直接用F纵坐标减G的纵坐标（用含t的表达式），若GE'直接用t的代数式表示，就相对简单些，可通过三角形HE'G与三角形GOK相似（ΔGOK三边比为3：4：5）来解。（图9）

生：哦！（豁然开朗）

以下是学生写的此小题小反思：

反思：勾股定理好想，好用，但由于出现平方，得到的方程比较复杂，当边是用二次代数式表示时，有时会出现高次方程，要慎用！

【点评】思考深刻，出现二次再平方时，要慎重，可换个角度试試！

四、关于数学小反思的两点思考

数学小反思的真实性是它的价值所在。数学小反思应是学生根据自己的真实意愿记录的，可以记录解题的精彩瞬间，也可以描述探索问题的点滴心路历程和轨迹，甚至可以阐述自己的错误主张，只要有思考和研讨的成分即可，这样的小反思就有强大的生命力！

教师指导下的数学小反思才是活而有用的教学素材。教师针对学生的小反思，取其精华，弃其糟粕，对于具有典型性的解题方法、触及到重要数学思想、具有独特的个性化的理解应给予点评，展示给全体学生，让师生互相学习，真正实现共同成长。