热传导方程的解法注记

2018-05-02 06:30苏新卫郭春晓
赤峰学院学报·自然科学版 2018年4期
关键词:特征函数高等教育出版社表达式

苏新卫,郭春晓

(中国矿业大学(北京) 理学院,北京 100083)

1 引言

本文求解如下有界域内热传导方程的混合问题

上述问题是文献[1]习题二中的一道练习题,给出的正确答案是

笔者多年从事理工科本科生和研究生的数学物理方程教学,发现在求解问题(1)时,大多数学生会选取特征函数展开法或齐次化原理[1-3]去求解,但用这两种方法求出的解的表达式在形式上和(2)有所不同.本文从两方面解答这一疑惑.首先,分别用特征函数展开法和齐次化原理求出问题(1)的解,然后说明解的表达式和(1)的一致性.其次,借助辅助函数,应用方程和边界条件同时齐次化方法直接求出解的表达式(2).由于(1)中的边界条件是齐次的,第二种方法往往是被忽略的简便方法.

2 特征函数展开法和齐次化原理

2.1 特征函数展开法

问题(1)所对应的特征值问题是

代入(1)中方程,并将自由项 按照特征函数展开可得

2.2 齐次化原理

根据齐次化原理,要求解问题(1),先用分离变量法求解齐次问题

至此得到了和本征函数展开法一致的解式(6).

注1 解的表达式(2)和(6)是一致的.事实上,将(2)中右端的第一项展开成级数有,其中

代入(2)式即可得(6).

3 辅助函数法

由于(1)中的自由项A和变量t无关,可以取辅助函数w(x),并让 w(x)也满足 w(0)=w(l)=0.令 v=u-w,则 v 满足

所以,只要取辅助函数w(x)满足a2w"(x)+A=0,w(0)=w(l)=0,即

问题(8)变为

直接用分离变量法易知(9)的解

4 结束语

本文以分离变量法为基础,分别用三种不同的方法求解了热传导方程的定解问题,并说明了级数形式解的统一性.对同一数学物理方程的定解问题,尽量采用不同的方法多次求解,一方面便于对不同求解方法的灵活选用,另一方面,可将繁杂的基础知识有机地结合起来,便于理清数学物理方程的知识脉络,从而做到对数学物理方程学科知识的真正掌握.

参考文献:

〔1〕王元明.数学物理方程与特殊函数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2004.

〔2〕谷超豪,等.数学物理方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2012.

〔3〕梁昆淼.数学物理方法(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2010.

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