偶数阶微分系统主次特征值之比的下界

黄振明

（苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州，215104）

在由物理学、力学和工程技术等学科推出的微分方程（组）特征值问题中，人们常需找出最小特征值或次小特征值，因为这些低阶特征值在实际问题中有着明显的物理指征，常与物体的主要振动频率、物体弯曲变形的临界值等有关，尽管一般情形下很难求得其精确值，但对低阶特征值的分析和估计仍是很具实际意义的一个研究方向，近年来，国内外许多数学工作者从不同角度，运用分析、算子、嵌入数估计等方法在此领域进行了大量研究，取得了一系列成果[1-13]，其中文[1]给出了有界开区间（a，b）上仅由两个方程构成的六阶微分系统特征值问题：

并得到了用主特征值λ1来估计次特征值λ2的上界不等式：

其中正实数 σi，τi（i=1,2）满足：对任意的实数 ξ1，ξ2有

本文考虑从两个方面将文[1]中的方程组（1）进行推广，一、方程个数为任意多个，二、方程阶数为任意偶数阶，即如下形式的微分系统：

则可将系统（3）写成如下等价的矩阵形式

且满足如下正定或半正定条件：对任意 n 维向量有 ξ=(ξ1,ξ2,…，ξn）T∈Rn

上述 σi，τi（i=1,2)均为正常数，T 为转置符号。

笔者参照并改进文[1]中的讨论方法，将[1]中的结论（2）推广至如下的一般情形。

定理 1设 λ1,λ2分别是问题（4）的主、次特征值（0＜λ1≤λ2），则有

2 定理的证明

设问题（4）的主、次特征值分别为λ1,λ2在上述假定条件下，根据微分算子特征值理论知，λ1,λ2不仅是实的，而且是非负的，即0＜λ1≤λ2，又记主特征值λ1对应的特征向量为u，且满足

对式（9）运用分部积分，有

由式（10）和（6），得

从问题（4），利用分部积分和式（9），并注意到问题（4）中的边界条件可推得

利用式（5）、（7）和（12），得

利用分部积分、φ的定义和式（10），计算得

由此可知，φ与u广义正交，同时φ满足奇次边界条件：

根据变分法中的Rayleigh原理知，对所有与最小特征向量u广义正交、且满足奇次边界条件的连续函数φ所得瑞利商的最小值是次小特征值，由此得到下列不等式

利用φ的定义和式（4），计算可得

将恒等式(x-q)R1(D)u=R1(D)φ-u代入式（16）右端可得

再由式（15）和（17）可得

于是，利用式（14）、（18），有

即

引理1设u是问题（4）对应于主特征值λ1的特征向量，则

证明：先证明下列不等式

假设 m=k≤t-2 时，不等式（21）成立，即

则当m=k+1≤t-1时，利用分部积分，Schwarz不等式和上式，并注意到问题（4）中的边界条件得

整理上式，即得

即当m=k+1时，不等式（21）也成立，所以不等式（21）成立。

即证得引理1的式（20）成立。

引理2设λ1是问题（4）的主特征值，则当t≥3时，下列两不等式成立。

证明：利用式（11）、分部积分和Schwarz不等式得

由式（24）和引理1可得

由式（6）和（25）即得引理 2 中的（22）。

利用 P（x）的正定性、式（5）、（12）和引理 1 得

即得引理2中的（23）。

引理3对于上述I，有如下估计上界

证明：利用φ的定义和分部积分法，逐项计算可得

合并式（27）和（28），恰好消去其中的不可控项，得

再根据引理 1、引理 2、（26）和（29）有

即得引理3。

引理4对于本文定义的试验函数φ，成立着不等式

证明：利用φ的定义和分部积分，

有

由式（30）得

利用式（11）、（31）、Schwarz不等式、（6）和引理 1，

有

化简即得引理4。

利用引理3和引理4，从式（19）可得

化简便得定理1中的式（8）。

3 结语

本文在六阶微分系统（1）的低阶特征值估计基础上，推广考虑了偶数阶微分系统（4）的特征值估计，获得了主、次特征值之比的下界估计不等式，其估计系数与所论区间的度量无关，特别地，文[1]讨论的系统（1）仅是本文系统（4）当 t=3，n=2，Q(x)=0时的特例，此时按本文的结论（8）对（1）成立着

与文[1]作者对（1）的估计结论（2）相比可知，本文用λ1估计λ2的上界比文[1]的相同估计减小了，或者说至少减小了λ1，因此，本文的估计结论比文[1]的更精确，在特征值问题中有着一定的参考价值。

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