基于LQR控制器的直线倒立摆研究及设计

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(昆明理工大学电力工程学院，云南 昆明 650224)

0 引言

直线倒立摆是控制领域中非常重要的控制系统，它在控制系统研究中受到普遍重视，已被公认为控制理论特别是现代控制理论的典型研究与试验设备，它不但是最佳实验工具还是一个理想的实验平台。因此，倒立摆控制的研究不但可以对控制进行理论研究，还在应用上面有一定的指导意义[1-3]。

线性二次型最优控制理论LQR属于线性系统综合理论中最具重要性和综合性的一类优化型综合问题，取性能指标函数为二次型函数积分，既考虑到系统性能的要求，又考虑到控制能量的要求[4-5]。

1 倒立摆数学模型

对直线一级倒立摆建立数学模型，如图1所示。

将小车与摆杆隔离，受力分析分别如图2和图3所示。

图1～图3中，M为小车质量；m为摆杆质量；b为小车摩擦系数；l为摆杆转动轴心到杆质心的长度；F为加在小车上的力；Φ为摆杆与垂直向上方向的夹角；θ为摆杆和与垂直向下方向的夹角。

图1 直线倒立摆的示意

图2 小车隔离受力分析

图3 摆杆隔离受力分析

首先，分析小车水平受力，可得：

(1)

接着，分析摆杆水平受力，可得：

(2)

根据现代控制理论，n阶线性定常连续时间系统为：

y=CX+Du

(3)

A为系统矩阵；B为输入矩阵；C为输出矩阵；D为直接传递矩阵。

将式(1)和式(2)代入式(3)，对方程求解并经过整理后的系统状态空间方程为：

(4)

2 倒立摆参数确定分析

根据倒立摆数学模型，本课题自行研制了直线一级倒立摆。首先进行小车部分设计，包括连杆轴承座及摆杆的设计、小车轴承座的设计、轨道支座设计，接着进行传动部分设计，包括同步带及同步带轮的设计、电机与同步带连接装置的设计以及同步轮支架的设计。在以上的基础上，分析各个部分的特征拓扑关系，然后从下到上，从部分到整体设计出整体三维模型图[6-8]。倒立摆整体倒立摆Pro/E模型图，如图4所示。研制出的倒立摆实物如图5所示。

图4 倒立摆Pro/E模型

图5 倒立摆实物

根据已经做出来的实际倒立摆系统，其物理参数测量如表1所示。

表1 倒立摆系统物理参数

再代入自主设计的直线一级倒立摆参数得到系统状态空间方程[1-3]：

(5)

3 最优控制策略LQR研究

对于自主设计的直线一级倒立摆系统，基于对倒立摆系统的模型建立、参数确定等分析，有必要设计相应的控制器，以确保系统能稳定地加以控制。鉴于已推导出系统状态方程，因此可以采用状态空间极点配置和线性二次最优控制方法设计最优控制策略LQR[9]。应用线性反馈控制器，控制系统结构框图如图6所示。

图6 控制系统结构框图

LQR控制理论是反馈系统设计的一种重要工具,取性能指标函数为二次型函数积分，它既考虑到系统性能的要求，又考虑到控制能量的要求，综合出一个性能指标函数[4-5]。

根据线性二次最优控制LQR基本原理，系统方程为：

(6)

二次型性能指标函数为：

(7)

Q和R分别为二次调节器；Q为半正定矩阵；R为正定矩阵。

如果倒立摆系统受到外界干扰而偏离零状态，则施加控制u*可以使系统回到零状态附近，并同时满足上式取得最小值的最优控制律为：

u*=v-KX

(8)

K为线性最优反馈增益矩阵；v为信号输入。

为使二次型性能指标函数J最小值，构造1个Hamilton函数如下所示：

λT(t)[Ax(t)+Bu(t)]

(9)

接着，求导Hamilton函数，令其值为0，则求出函数最小值为：

(10)

从而得到最优控制信号为:

-PA-ATP+PBR-1BTP-Q=0

(11)

应用LQR，可以得到对应的反馈增益矩阵K=lqr(A，B，Q，R)，这样就完成了LQR控制策略的设计。

4 LQR控制参数仿真

假设全状态反馈可以实现(4个状态量都可测)，仿真曲线如图7所示。

从图7可以看出，直线倒立摆系统响应的超调量较小，但稳定时间和上升时间较大。

当Q11,Q33增大后，LQR系统仿真响应曲线如图8所示。

比较图7和图8可知：Q11，Q33增大，R不变时，系统反馈增益矩阵K变大，通过系统的相应结果会发现上升时间与超调量减小。Q增大后系统能在3 s的时间内达到稳定。

对于LQR系统，Q取不同的值，便可以得到不同的响应效果， 而Q的值逐渐增大，则系统抗干扰能力便逐渐增强，调整时间越短，从而使得系统稳定性越好[10]。

图7 LQR系统响应仿真

图8 Q11,Q33 增大后的LQR系统响应

基于前面所计算的反馈增益K对建立的模型进行仿真，则直线一级倒立摆系统LQR控制仿真如图9所示。

图9 直线一级倒立摆LQR 控制仿真结果

图9中，曲线a为小车的速度曲线，曲线b为小车的位置曲线，曲线c为摆杆角度曲线，曲线d为摆杆角速度曲线。由图9可知，闭环控制系统响应的超调量很小，但稳定时间和上升时间偏大，可以通过增大控制量来缩短稳定时间和上升时间[11]。

5 结束语

在直线一级倒立摆数学建模的基础上，自行研制了直线一级倒立摆，接着为确保倒立摆系统能更加稳定地控制，研究并设计了LQR控制器，给出了LQR控制器结构框图及理论分析。最后进行了仿真验证。仿真效果表明，所研究并设计的LQR控制器系统响应灵敏，能保证所设计的直线一级倒立摆系统的摆角在一定的区域内动态稳定竖直向上，即使小车位移突然变化，摆角也能按照要求快速响应并恢复到期望位置，保持倒立摆的摆杆倒立不倒。

参考文献：

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