一道逻辑试题的多视角求解

刘胜林

(湖北省武穴市实验高中 435400)

数学教学的核心活动是数学解题，数学解题是在数学思想的引领下，利用数学方法与技能形成解题思路的思维活动. 对一些典型的数学试题进行一题多解、多题一解，不仅可增强各知识、方法间的纵横联系形成系统的知识网络，还可有效训练学生的思维，锻炼学生的能力，开拓学生的视野，对提高学生的综合解题能力，提升学生的数学素养大有脾益. 下面是我校近期周测中的一道逻辑试题，本文将从不同的思维入口来切入探析演绎别样精彩.

题目命题p:log2(6x+12)≥log2(x2+3x+2)，命题q:4ax+a<2x2-2x-3.

(1)若p为真命题，求x的取值范围；

(2)若p为真命题是q为真命题的充分条件，求a的取值范围.

本题是一道立足于逻辑的试题，该试题主要考查指、对数型不等式、含参的一元二次不等式的解法、不等式恒成立求参数的取值范围等基础知识，意在考查学生转化与化归、分类讨论、数形结合的数学思想及综合分析解决问题的能力. 虽题面精巧，题设条件简约，但内涵丰富，具有一定的典型性与示范性. 读罢研磨，发现试题入口平实、思路宽泛，若从不同的思维视角来切入可得不一样的精彩. 从某种意义上来说，本题值得探究.

第一问解对数型不等式得：p为真命题时，-1

视角1 基于等价转化后的命题q:2ax+2a

解法1 由(1)知p:-10. ∵p为真命题是q为真命题的充分条件，∴p⟹q，从而有：当-1<3+2a即a>-2时，q:x>3+2a或x<-1，此时p⊄q，不合题意舍去；当-1>3+2a即a<-2时，q:x>-1或x<3+2a，此时p⊆q，合乎题意；当-1=3+2a即a=-2时，q:x≠-1，此时p⊆q，合乎题意. 综上知：a≤-2.

点评本解法将目标问题转化到p、q两集合间的关系上来数形结合分析求解，通俗自然、易于上手，是该类问题的一种常见求解策略. 其中对含参的一元二次不等式的求解着实考查学生的基本功底，平凡之处见真功.

视角2 考虑到命题p:-1

解法2 易知命题p:-10在x∈(-1,5]上恒成立. ∵-1-4，∴2a≤-4，得a≤-2.

点评将问题转化到不等式2ax+2a

视角3 注意到命题q:2ax+2a0在x∈(-1,5]上恒成立时参数a取值范围的求解，可利用二次函数f(x)=x2-(2a+2)x-3-2a的图象数形结合分析探究.

点评利用二次函数的图象与性质数形结合解决一元二次不等式恒成立问题，是该类试题一种最基本且极为常见的做法. 但值得注意的是，在使用该做法处理一元二次不等式恒成立时，要特别留意二次函数图象上的一些关键点(如本题中f(-1)=0)对二次函数图象的影响，这样可使问题的求解变得简捷明了，否则问题的求解就会变得很被动繁琐起来.

通过对上述试题进行不同思维视角的探究可以发现，上述三种解法虽方式不同，但均从不同的层面揭示了该类试题的通性通法，可谓是各有千秋. 其中解法1利用分类讨论的数学思想求解含参的一元二次不等式，继而将问题转化到两集合间的关系上来数形结合求解，朴实之处体现了扎实的数学功底；解法2解法3将问题转化到不等式恒成立求参数取值范围这类熟知的问题上来，对学生综合分析处理问题的能力提出了一定的要求，要求学生具有较好的数学素养. 特别是当含参的一元二次不等式无法求解(或非一元二次不等式)时，该做法更显得尤为珍贵、势在必行. 其中解法3利用二次函数图象来解决一元二次不等式恒成立问题，是对二次函数图象与性质的简单应用，而解法2通过分离参数进而将问题转化到求具体函数在给定区间上的最值上来求解，相比于法三，其适应性更广泛. 题不在难，有“涵”则灵. 在平日教学中，要多关注具有典型性、示范性的一些基础试题、基本问题中所蕴含的数学思想与方法，要及时的探究、归纳与总结，通过试题的探究活动，深化思维自然凸显优美解法，这样才能使我们的解题教学真正回归到基础知识、基本问题上进行探究，提炼思想与方法，进而形成高效课堂.

参考文献：

[1]刘胜林.一道高考试题的多视角求解[J].高中数学教与学，2015(4).