对教材所给公式的证明

王玮珅

(黑龙江省实验中学 150000)

高中数学教材(人教版)中(下文简称“教材”)，对于一些常用的基本数学公式，教材以定理形式给出或略微提及，却并未给出其推理证明的相关过程.笔者通过高中数学知识(考纲内)对其中一部分公式、结论加以证明.希望以此能够激发同学们的数学自主学习兴趣与发散性思维，并提高一定的独立思考和数学知识的实际运用能力.

一、数列部分

运用数学归纳法虽然可以轻松证明上式成立，但在公式未知时却无法获得此结论.现在，我们探究如何直接推导出此公式.

[讨论1]求数列an=n2(n∈N*)的前n项和

首先，我们构造一个等差数列{bn}，令bn=2n-1(n∈N*).

由于b1+b2+…+bn=n2，(n-1)bn=(n-1)(2n-1)=2n2-3n+1,

∴证毕.

上述思想主要是通过构造新数列，使通项逐项相加后能构造出n项和的倍数，以解出求和公式.

二、立体几何部分

首先，我们想一想求解该问题的思路，在垂直于底面的方向上，也就是高的方向上，每一点所对应的椎体横截面积随高度变化而变化，且有函数规律.然后，我们就可以利用定积分知识类比计算平面图形面积来计算体积.

如图1，三棱锥S-ABC，SO为高线，做任意平行于ABC且顶点分别在三条棱上的三角形A′B′C′交SO于点M.

把x看为自变量，S△A′B′C′为因变量，则上式为S△A′B′C′与x间函数关系，而体积VS-ABC则可以看作上述函数，自变量x从0到h区域内的定积分.

同理，四棱锥、圆锥等也可以类似这样证明.

先看一个半球(图2)，与[讨论1]思路相同， 我们只需要先得出与底面平行，半球相交的圆面积与其底面距离的函数关系，即可求出半球面积，从而到球体面积.

所以S′=πr′2=π(r2-x2).

三、导数部分

教材导数章节内容，给出了一些基本初等函数的导数公式，其中大多公式可用高中数学知识证明.下文只给出“若f(x)=xa(a∈N*)，则f′(x)=axa-1的证明.

[讨论1]设函数f(x)=xa(a∈N*)，求其导函数f′(x).

这个问题很容易证明，只要代入二项式定理即可.

[讨论2]求函数f(x)=sinx的导函数f′(x)

通过对教材内基本公式的证明，在一定程度上能够开拓并启发学生对数学学科的认知与数学思维，使学生能清晰、明了所学知识间的联系，提高自身主动思考行动能力与探究性创新能力.

参考文献：

[1]郭立军.对高中数学新教材第一册(上)的研究[D].长春：东北师范大学，2003.