我解压轴题之：端点尝试 预测思路

许银伙 杨苍洲

(1.福建省泉州外国语中学 362000；2.福建省泉州第五中学 362000)

例题1 (济南2014高考模拟) 已知函数f(x)=k(x-1)ex+x2.

(2)若在y轴的左侧，函数g(x)=x2+(k+2)x的图象恒在f(x)的导函数f′(x)图象上方，求实数k的取值范围；

(3)对k≤-1时，求函数f(x)在[k,1]上的最小值m.

分析与解(1)所求切线方程为x-y=0.

(2)由已知得：g(x)>f′(x)对x<0恒成立.

∵f′(x)=kxex+2x，

∴x2+(k+2)x>kxex+2x对x<0恒成立，即x

方法一令h(x)=k(ex-1)-x，则须h(x)>0对x<0恒成立.

∵h′(x)=kex-1，x<0时，0

当k≤1时，h′(x)<0对x<0恒成立，h(x)在区间(-,0)单调递减.

又∵h(0)=0，∴h(x)>0对x<0恒成立，符合.

则函数h(x)在区间(-,单调递减，在区间单调递增，∴不符合.

综上得：所求实数k的取值范围为(-,1].

令φ(x)=(1-x)ex-1(x<0)，则φ′(x)=-xex>0对x<0恒成立，

∴φ(x)在区间(-,0)上单调递增.

∵φ(0)=0，∴φ′(x)<0.

所求最小值m=1.

反思与评注

(1)求实数a的值；

分析与解(1)a=0.

由题意得：所求实数m的取值范围为(-,e].

(3)不存在.理由略.

例题3 (2014沈阳高三质量检测二)

已知函数f(x)=mx-sinx，g(x)=axcosx-2sinx(a>0).

(1)若过曲线y=f(x)上任意相异两点的直线斜率都大于0，求实数m的取值范围；

分析与解：

(1)m≥1.

(2)m=1时，f(x)=x-sinx，f(x)≥g(x)即x-sinx≥axcosx-2sinx.

∵h(0)=0，∴h′(x)=(1+cosx)-a(cosx-xsinx)≥0对x=0右侧附近成立.

h(x)=x+sinx-axcosx≥x+sinx-2xcosx，

当a>2时，h′(0)=2-a<0，

即h(x)对x∈[0,x0]单调递减，∴h(x0)

综上得：所求实数a的取值范围为(0,2].

反思与评注1.关于问题(Ⅱ)方法一分离参数后由端点代入即可预测解题思路.

2. 方法二先由区间端点函数值为0，预测端点处的单调性情况，然后分离参数，由端点情况得到参数的讨论界点，再进行讨论.

3. 讨论界点的确定是分类讨论的关键，利用端点情况尝试分段或利用导数值可以恒非负、恒非正、可正可负三种情况讨论.

例题4 (南昌2014二模)已知函数f(x)=sinx-ax-bxcosx(a∈R,b∈R).

(1)若b=0，讨论函数f(x)在区间(0,π)上的单调性；

(2)若a=2b，且对任意x≥0都有f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围.

分析与解(1)当a≤-1时，f(x)在区间(0,π)单调递增；当a≥1时，f(x)在区间(0,π)单调递减；当-1

(2)方法一(配套的参考解答)

h(x)对x∈[0,x0]单调递增，则g(x0)≥h(x0)>h(0)=0，矛盾.

∵x∈(0,π)时，g(x)>0；x∈[π,2π]时，g(x)≤0，

令h(x)=2x+xcosx-3sinx，则h′(x)=2-xsinx-2cosx.

令h1(x)=2-xsinx-2cosx，则h1′(x)=sinx-xcosx.

令h2(x)=sinx-xcosx，则h2′(x)=xsinx>0对x∈(0,π)恒成立，∴h2(x)对x∈(0,π)单调递增.

∵h2(0)=0，∴h1′(x)=h2(x)>0对x∈(0,π)恒成立，则h1(x)对x∈(0,π)单调递增.

∵h1(0)=0，∴h′(x)=h1(x)>0对x∈(0,π)恒成立,

则h(x)对x∈(0,π)单调递增.

∵h(0)=0，∴h(x)>0对x∈(0,π)恒成立，

∵f(x)图象在区间[0,π]连续不断，

∴在x=0右侧附近∃x0∈(0,π)使f(x0)>0，矛盾.

反思与评注

2. 洛必达法则是高数微积分的重要知识，尖子生有必要掌握，以便帮助冲刺难题.

3.方法二用了多阶导数，解题需要有锲而不舍的精神.需要多阶导数的问题通常端点导数值为0，且初始函数单调.

参考文献：

[1] 许银伙．投石问路 巧解难题[J]．福建中学数学，2011(12)：30-32.

[2] 李红春．立足函数特征 陈题新掘精彩[J]．数学通讯，2015(11、12)：2-4.