用尺规三等分一角渐近作法的探索

天平 黄汉文

摘 要：尺规作图求三等分一角，已经被证明是不可解的，但是人们对三等分角的探索从未停止过。用取极限的思想对任意角多次作角平分线，可以找出近似的任意角三等分线。通过逼近速率和误差分析，作角平分线5～6次，能够达到1/1 000的精度。

关键词：尺规作图；三等分角；极限

中图分类号：O 123.3 文献标识码：A 文章编号：2095-7394（2018）02-0125-04

三等分角是古希腊几何尺规作图当中的名题，它和化圆为方、倍立方问题被并列为古代数学的三大难题。从相关数学论著中谈到这个问题的历史可以追溯到公元前四世纪，几千年来一代又一代的数学家都为它绞尽脑汁[1]。在希腊这个数学研究学术风气很盛的国家，曾出过不少著名的数学家和哲学家，包括阿基米德、欧几里得等在内的众多伟人，然而现代数学已经证明，用有限次直尺和圆规来三等分一角是不可能的。

后来，人们又想到了其他的方法，通过引入其他的曲线和新的思想实现角的三等分或近似三等分。通过借助双曲线[2]、尼科梅德斯蚌线或希皮亚斯的割圆曲线，或使用阿基米德的滑动传杆装置，都能将给定的一角三等分，但这些方法实际上已经超出了仅使用直尺和圆规作图的限制。[3]

本文运用极限的思想，通过多次作角平分线来逼近一角的三等分线，用有限次尺规作图得到角的近似三等分线。

1 作法及理论依据

本节先给出对依次平分大、小角的方法，然后证明其合理性。

（1）对任意角∠AOB∈（0，π]，作其平分线OA1，再作∠B0A1的平分线OB1。得到角∠B0B1和∠B1OA。

（2）作角∠B1OA平分线OA2，再作∠BOA2角平分线OB2，得到角∠B0B2和∠B2OA。

（3）作角∠B2OA平分线OA3，再作∠BOA3角平分线OB3，得到角∠B0B3和∠B3OA。

接下来定义一步操作的概念，一步操作包括两次作角平分线，第一次是作角∠BnOA的平分线OAn+1，第二次是作∠BOAn角平分线。（n≥2）

（4）依次顺序反复做下去。第n步操作为，作角∠Bn-1OA平分线OAn，再作∠BOAn角平分线OBn，得到角∠B0Bn和∠BnOA。（n≥2）

在實际操作中，当n充分大后，前后两次画出的OBn与OBn+1会几乎完全重叠。此时可以认为，后一条新小角点OBn+1与实际三等分线OS近似重合，即OBn+1为所求作之任意角∠AOB的角三等分线。

下面给出此法合理性的证明：

设∠AOB=[θ]；

对任意角∠AOB∈（0，π]，作其平分线OA1，记∠B0A1=[α1]；再作∠B0A1的平分线OB1。得到角∠B0B1和∠B1OA，记∠B0B1=[β1]；

作角∠B1OA平分线OA2，记∠B10A2=[α2]；再作∠BOA2角平分线OB2，得到角∠B0B2和∠B2OA，记∠B0B2=β2；

作角∠B2OA平分线OA3，记∠B20A3=[α3]；再作∠BOA3角平分线OB3，得到角∠B0B3和∠B3OA，记∠B0B3=[β3]；

记第[n-1]步后得到∠B0[βn-1]=[βn-1]（n≥2）；

则第[n]步（n≥2）中，平分∠[βn-1]0A有：

（[θ]- [βn-1]）/2=[αn] （1）

平分∠B0An有：（αn + [βn-1]）/2=[βn] （2）

将 （1）式代入 （2）式，消去[αn]，整理得：[θ]+ [βn-1]=4[βn]，

故[βn-1]-[θ]/3=4（[βn]-[θ]/3）；

∴{[βn]-[θ]/3}为q=1/4的等比数列；

∴（[βn]-[θ]/3）=（β1-[θ]/3）·1/4n-1；

即[βn]=（b1-[θ]/3）·1/4n-1+[θ]/3；

∴[limβn=θ3]，代入①得[limαn=θ3]

因此，[n]→∞时，OAn与OBn均为∠AOB的三等分线。

由证明过程知，对任意角[θ]按上述方法作三等分，[βn]=（[β1]-[θ]/3）·1/4n-1+[θ]/3；无论[β1]取何值，[βn]最终都会趋向[θ]/3。因此，为了减少步数，可以先目测[θ]/3的位置，设任意∠BOB1∈（0，[θ]）为目测三等分点，然后令∠BOB1=[β1]，继续上述步骤作图，也能得到近似的三等分角。证明过程同上。如果恰好取到∠BOB1=[β1]=[θ]/3，则α1=[θ]/3，[β2]=[θ]/3，可见OB1与OB2重合，作图结束。

结论：运用上述作图步骤，通过上述作图公式①和②反复循环作图，通过数次作图后，可将任意角[θ]近似分出三分之一角。

2 逼近速率与误差分析

由于上述作图过程是一个逼近的过程，下面对通过依次作∠AOB和∠B0A1的平角[β1]的情况的逼近的速率和存在的误差进行分析。

对任意角[θ]按上述步骤反复作角平分线得到的[βn]与[θ]/3的关系如表1所示。

分别以被三等分角分别为60°，90°，180°为例，按上述步骤反复作角平分线得到的[βn]与理论值的关系如表2所示。

由表1和表2分析可知，当[n]增加时，误差成指数式下降。[n]=5时误差不足0.1%，[n]=10时误差不足百万分之一。在给出具体角度的情况下，即使是180°的角，进行5步操作以后，得到的b5与标准值的误差也不足0.06°；进行6步操作以后，得到的[β6]与标准值的误差小于1'。

3 结论

本文给出了一种新的用尺规作任意角的近似三等分角的方法。此方法通俗易懂，操作方便。此方法精度较高且可以控制精度，可以只作5～6步得到精度约千分之一的结果。但是这种方法也存在一定的局限性，在实际操作中，当[n]≥5以后，[βn]与[βn+1]过于接近，较难分辨。

4 推广

运用此法的原理可以类似求得线段的三等分点。方法同样是对任意线段AB，用尺规作图作其中点A1，再作BA1的中点B1（或任取B1）；然后依次作线段BnA中点An+1，再作BAn+1中点Bn+1……依次顺序反复做下去，当[n]充分大后，Bn与Bn+1几乎重合，此时可以认为，Bn+1与实际三等分点S重合，即Bn+1为AB的三等分点。同理可证其合理性。

参考文献：

[1] 钱曾涛.你会不会三等分一角？[M].北京：中国青年出版社，1956.

[2] 封平华，李向丰.三等分角新探[J].河南教育学院学报（自然科学版），2010（1）：1-4.

[3] 孙兴波.有关三等分角的综述[J].中学教学参考（中旬），2010（6）：4-5.

A New Exploration on an Asymptotic Method about Trisecting an Angle with Ruler and Compasses

DING Tian-ping1，HUANG Han-wen2，YUAN De-zheng1

（School of Mathematics and physics，Jiangsu University of Technology，Changzhou 213001，China；Wuxi New Thought Automation Technology Development Co.，Ltd.Wuxi 214101，China）

Abstract：Though it has been proved that it is impossible to trisect an angle with ruler and compasses in finitely many times， people have never stopped the exploration on trisecting an angle. Recently.By approximation rate and error analysis， Using the idea of taking the limit， the method constructs an arbitrary angle's angular bisectors repeatedly， and finally gets the approximate trisector of an arbitrary angle. upto one thousandth.

Key words： construction with ruler and compasses； trisect an angle； the limit

責任编辑 祁秀春