抓好解题后的反思 培养良好思维品质

袁爱珍

抓好解题后的反思是 培养良好思维品质不可缺少的重要环节，通过反思题目特征培养思维的深刻性；结合反思解题思路培养思维的广阔性；深入反思解题途径培养思维的批判性；探讨反思题目结论培养思维的创造性；熟悉反思解题过程培养思维的敏捷性；寻求反思题目条件特点培养思维的灵活性。

当前，我国的基础教育正从应试教育向素质教育转轨。这就要求教师能把学生从题海中领出来，为此，就必须提高学生的解题能力。要提高学生的解题能力，除了做好审清题意、制定解题计划、实现解题计划等工作之外，解题后的反思也是一个不可缺少的重要环节。

所谓解题后的反思是指在解决了数学问题后，通过对题目特征、解题思路、解题途径、题目结论等的反思来进一步暴露数学解题的思维过程，从而开发学习者的解题智慧，以达到事半功倍的效果，及培养学习者思维品质的目的。

下面是笔者的一些做法和看法：

一、反思题目特征，培养思维的深刻性

思维的深刻性表现在能透过表面现象和外部联系，揭露事物的本质，进而深入地思考问题。解完一道题后，通过反思题目特征，加深对题目特征的本质领悟，从而获得一系列的思维成果，这有助于培养思维的深刻性。

例1 已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过P点且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有（ ）

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

解：过P作直线a′∥a，b′∥b，则由已知可得a′和b′所成的角是50°和

130°。记a′和b′和所确定的平面为β。那么，在β平面内，过点P不存在与

a′、b′都成30°的直线。过点P且与a′、b′都成30°的直线，必在平面外，且在β内的射影必平分a′、b′所成50°的对顶角，这样的直线有且仅2条，它们关于平面β对称。所以，过点P与a、b都成30°的直线有且仅有2条。

反思：在本题中，50°和30°的设置对答案起着重要的作用。因此，可通过改变50°和30°的大小来深化对这一类題目的理解。如：

（1）若将30°改为25°，其余条件不变，则答案为（ ）。

（2）若将30°改为65°，其余条件不变，则答案为（ ）。

（3）若将30°改为70°，其余条件不变，则答案为（ ）。

（4）若将50°改为x°，30°改为y°，且答案为A，则x、y的关系式为 ；若答案B，则的x、y关系式为 ；若答案C，则x、y的关系式为 ；若答案D，则x、y的关系式为 。

二、反思解题思路，培养思维的广阔性

思维的广阔性指能从众多的知识领域和多方面的知识出发来解决问题，是思路开阔而全面的品质。解完一道题后，应考虑能否根据该题的基本特征与特殊因素，进行多角度的观察、联想，找到更多的思维通路，这有助于培养思维的广阔性。

例2 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，

GC⊥平面AC，GC=2。求点B到平面GEF的距离。

解：连结BD、AC，AC和BD相交于O，

AC和EF交于H，连结GH，如右图所示。

由已知条件易得出EF⊥AC，EF⊥GC，

所以EF⊥平面GHC，

所以平面GHC⊥平面GEF。

∵BD∥EF，∴BD∥平面GEF。

∴BD和平面GEF的距离就是点B到平面GEF的距离。

过O在平面GHC内作OK⊥HG，垂足为K，则OK⊥平面GEF，所以OK的长就是点B到平面GEF的距离。

由已知可求出 ， 因为 和 有一个锐角是公共角，所以△HKO∽△HCG，所以，

。

从而B到EFG的距离是 。

反思：上面的解法是把点面距离转化为线面距离。我们也可考虑把点面距离转化为面面距离。这便得出思路2：在CG上取点P，使CP=2PG，连结PD、PB。可以证明平面PDB∥平面GFE。这样，平面PDB和平面GEF的距离就是点B到平面GFE的距离。

点到平面的距离又可看作是三棱锥的高。这就启发我们还可利用体积法来解决本题。由此又得出思路3：因为 ，所以 。故只需求出 、 、GC的值，就能计算出h，即得到B到平面GFE的距离。

三、反思解题途径，培养思维的批判性

思维的批判性是指在思维活动中独立思考，精确检查思维过程，有根据地作出肯定接受或否定质疑的品质。在解完一道题后，反思哪些过程可以合并或转换，这样的反思，有助于缩短解题长度，从而培养了思维的批判性。

例3 方程 的解是 。

解：去分母，得

即 ，

两边乘以 ，得关于 的二次方程

，

分解，得 ，

因为 ，所以 ，

解得 。

反思：上面的求解过程中，最能产生实质性进展的是两边乘以 处理负指数这一步，去分母和移项整理这两步只起转换作用，而且两边乘以 对于是否去分母都是可以施行的，抓住了这一实质，直接对原式处理负指数，可得如下的较优解法。

另解1.两边乘以 ，有

，

即 ，

。

再进一步分析另解1可看出，它实质上揭示了分子、分母间有公共的式子，可以相约，所以想到变乘以 为提取 ，得如下的更优解法。

另解2.原方程变形为

。

所以，

。

四、反思题目结论，培养思维的创造性

思维的创造性是指在思维活动中，能以独特的心理操作方式来展开思维，是其思维成果新颖，与众不同的品质。在解完一道题后，应思考根据此题要求解的结论，能否从其它的角度重新审视题目，得出更加简捷优美的解法，这样的反思，有助于培养思维的创造性。

例4 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需3.15元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需4.20元；现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？

解：设甲、乙、丙的单价分别为 ，由题意，得

①×4—②×3，得

，

∴

把 代入②，可得

，

∴ ，

故购甲、乙、丙、各一件共需1.05元。

反思：上面的解法是采用主元法（视 ）。若重新审视题目的结论是求 的值，启发我们在①和②中出现 ，并把它作为一个整体来处理，从而得出如下的新颖途径：

将原方程组变形为

这可看作关于 的一次方程组，从而可求得 。

五、反思解题过程，培养思维的敏捷性

思维的敏捷性是指思维过程中的简缩性和快速性。具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程，“直接”得出结果。

运算过程或推理过程的缩短，表面看来好像没有经过完整的推理，其实它还是有一个完整的过程的。

例5 在讲完“一元二次方程”一章以后，上了一节综合练习课，其中编拟了一道题目：解方程

编拟这一题目的主要意图在于利用代换 ，将原方程变形为 。这样既能复习无理方程转化为有理方程的思想，又复习换元法、求根公式和根式运算等知识。

反思：在上面的解题过程中，是按照常规的将无理方程转化为有理方程的解题方法。如果不按“常規”的解法去做，这道题却有一个“非常规”的简捷解法：如果 ， ，那么原方程的两边就相等，由此可知 满足这个要求。而当2≤ <4时，2 <8， < ；当 >4时，2 >8， > ，从而得出，除了 外，原方程没有其他的根。

这里，几乎是通过观察方程的特征而“直接”获得的；除外，方程没有其他的根，是通过简缩的运算过程和推理过程

获得的。所以，这种“非常规”解法可以认为是思维敏捷性的表现。

克鲁切茨基（V.A.Krutetskii）的研究表明，推理的缩短取决于概括，“能‘立即进行概括的学生，也能‘立即进行推理的缩短”。可以通过练习，提高学生思维的概括性，从而提高思维的敏捷性。

六、反思题目条件特点，培养思维的灵活性

思维的灵活性是指思维活动的灵活程度，主要表现为具有超脱出习惯处理方法界限的能力。即一旦所给条件发生变化，便能改变先前的思维途径，找到新的解决问题的方法。学生思维的灵活性主要表现为随新的条件而迅速确定解题方向；表现为从一种解题途径转向另一种途径的灵活性；也表现为从已知数学关系中看出新的数学关系，从隐蔽的形式中分清实质的能力。

例6 当 为何值时，直线 被曲线 所截得的线段之长为 ？

一般的解题思路是：将直线方程代入曲线方程，求出它们的交点坐标（或坐标之间的关系），再借助韦达定理和距离公式来解。（解：略）

反思：注意题目的条件给出的曲线是圆，圆的半径为 ；直线 被圆截得的弦长为 ，即为圆的直径。于是， 必须通过圆心，所以 。

思维灵活性的反面是思维的呆板性，或称心理惰性。知识和经验经常被人们按着一定的、个人习惯的“现成途径”反复认识，这就产生了一种先入之见，使思维倾向于某种具体的方式和方法，使人在解题过程中总是遵循业已知道的规则系统——这即是思维的呆板性。

思维的呆板性是发明和创造性活动的极大障碍。思维的呆板性是部分学生思维的特点，表现为片面强调解题模式，缺少应变能力。

例7 解方程 。

许多学生用求根公式或用十字相乘法因式分解来解。（解：略。）

反思：注意到题目的条件中624与625（5的平方）差1，所以这道题有下面的解法：

原方程变形为： ，

所以有 ，

两边开平方，得 ，或

所以， 。

当然，许多学生固有的思维的呆板性也有好的一面，即在解同一类问题时，他们可不必重新安排解题程序。教师的主要任务是帮助学生克服“呆板性”的消极的一面，及时地让他们了解新的情况下新的解题途径。

进行解题后的反思，能培养学生思维的品质，这就要求教师在教学中要有计划、有意识、有目的地引导学生进行解题后代反思，以提高学生的解题能力。

（作者单位：福建省南平市武夷山一中）