信息技术与中小学数学教学的深度融合研究

☆ 赵彤帆崔海生 Zhonglin.ko 郑 波

（1.河南省电化教育馆，河南郑州 450004；2.北京触学科技有限公司，北京 100085）

一、研究背景

2012年国家教育部发布的《教育信息化十年发展规划（2011-2020年）》文件中，首次提出了“信息技术与教育教学的深度融合”这一教育信息化工作核心理念，强调以教育信息化引领教育现代化。该计划执行到今天，在一二线城市已基本实现了教育信息化的基础互联网、基础软硬件的搭配，下一步就是如何将教育信息化和学科教育深度融合，真正影响各个学科的课堂教学和学生学习，辅助学校实施课程改革。我们可以将此下一步工作简称为“学科信息化”工作。

数学学科一直是中小学教学的核心科目，加上其与信息技术的先天渊源，一直是学科信息化工作的重要研究对象。

从国外数学学科信息化研究领域的进展来看，2000年4月，美国数学教师协会颁布的《数学课程标准》中，首次将信息技术列为六项基本原理之一，提出“现代信息技术是数学教学中的基本要素，通过合理地使用技术，学生能够学习更多的数学知识并增强学生的数学学习能力”。同时，英、法、德、俄、日、新加坡等也在数学课程大纲中对信息技术的运用做了相关的具体要求。

2010年11月发布的《美国2010国家教育技术计划》（简称NETP），通过分析信息技术在工商业领域应用所取得的丰硕成果与教育领域应用效果不佳的现状，得出了如下结论“教育部门可以向企业部门学习，如果想要看到教育生产力的显著提高，就需要进行有技术支持的重大结构性变革（Fundamental Structural Changes），而不是渐进式的修修补补(Evolutionary Tinkering)”。

综合分析国内外研究现状，我们可以得到这一共识：学科信息化的驱动力来自教学效能提升的要求，而不是信息技术本身。

从此共识出发，看我国数学学科教学的实际需求，通过深入研究数学学科新课标的要求来寻找信息技术如何帮助教学目标的实现将是开展学科信息化工作的基本方法。而在以上方法中，最基本也是公认的有效路径是对教学内容的信息化赋能。即，借助信息技术手段，提升数学学科教学内容的深度、广度，并以此为基础提升学生学习效度。

本文从上述基本方法论出发，结合实践案例，旨在说明如何使信息化对教学内容的赋能出发，形成数学学科信息化的抓手应用，并进一步带动学科整体信息化水平的发展。

二、信息技术与中小学数学教学融合的策略

（一）建立以“提升数学核心素养”为基础要求的学科信息化工作评价标准

学科信息化实施中最大的难点在于信息技术人员与学科教学人员对彼此所处的领域都相对陌生，两者之间的语义环境、概念体系存在较大差异。同时对于彼此的能力范围、工作方式也有着理解差异。而学科信息化工作的开展却要求这两类人群必须进行深入的配合，因此，在工作之始，首先应当建立共同的工作评价标准。这一标准，应当反映该工作的核心价值取向，具备权威性、普适性和导向性，并且其中所涉及的概念内涵和外延都应足够清晰客观，最好是可量化可比较的。

从以上要求出发，经过对数学学科教学实际情况的深入调研，我们认为以新课标对学科素养的定义为基础，可以建立一套以“提升数学核心素养”为基础要求的学科信息化工作评价标准。

国家新课标强调“生本位”，认为“学习是一个主动建构知识、发展能力、形成正确的情感态度价值观的过程”。对应的教与学的方法上提倡两个方面的转变：以学生/学习角度看，强调从被动接受，到参与/体验、探究/发现、问题/解决的学习模式转变；以教师/教学角度看，强调从知识传递到直观教学、活动教学、交互教学、协作教学的转变，所有这些转变，都指向教师重构课堂教学，为实现上述学生学习模式转换提供教师端的支撑与服务。对于数学学科而言，所谓核心素养在小学课标中界定为“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想以及应用意识和创新意识”。而初中课标核心素养虽未明确界定，但在义务教育阶段基本可以参照小学核心素养的概念范畴。

新课标将“数学核心素养”提到了前所未有的高度。数学学科教学的新目标是在对数学知识的不断建构、解构、重构的过程中培养数学素养，培养学生形成数学的感知力、发现力、表达力、应用力乃至数学的创造力。在这个过程中，知识的掌握应该是在素养提升的同时自然而然的结果，而不是目标或单纯记忆及练习的结果。

无论小学还是初中，数学核心素养的概念，除创新意识外都有相对应的数学知识或数学能力对象。因此，以学科信息化工作是否能够提升核心素养为标准，可以形成一套可测量可比较的评价体系。更重要的是，构建这样的评价体系也能够反映学科信息化工作的核心价值取向，即通过信息技术与学科教学的深度融合，提升学科教学的实际效能。

遵循以上基本原则，在将核心素养指标与义务教育阶段各年级对应的数学知识或能力相结合，我们可以尝试构建一套能够通过测评结果来反映学科信息化工作效果的评价指标体系。表1所示为小学数学学科信息化产品评价表。

表1 小学数学学科信息化产品评价表

推理能力模型思想应用意识

表1仅显示了评价结果的呈现方式，完成评价还需要以下两个体系的支持。

（1）比较常模体系：即将传统教学方式下各年级数学核心素养指标的实现结果进行量化测评，形成对照基准，构建比较常模。

（2）核心素养测评体系：即建立测评系统，能够客观反映学生核心素养培养情况。这一测评系统与一般考试有较大差别，将更偏重能力测量的领域，需要重新研究设计。

在以上两个体系的支持下，将有可能实现对学科信息化产品在不同学段不同年级使用效果的准确评估。

学科信息化效果评价体系是一个很大的研究课题，限于本文作者及其研究团队的时间、精力和资源，仅能就此领域做较为初步的概念性探讨。但以上基本观点将作为本研究团队开展信息技术与中小学数学学科教学深度融合研究的基本指导方针，并在后续工作中予以落实。同时也抛砖引玉，希望业内专家学者共同研究这一领域存在的问题，以尽快为学科信息化工作的开展建立更合理的指标体系，使该项工作的开展能够有的放矢，提升效率。

（二）找准突破点，开发抓手应用促使学科信息化工程从被动提升到主动

为开展学科信息化的研究工作，研究团队通过调研发现，在学科与信息技术融合方面，目前基层学校存在的主要问题是没有抓手应用，贪大求全，动辄追求备课、预习、上课、作业、测评的全流程信息化。这种目标往往脱离学校的实际需求和承受能力，也大大超出了教师和学生的信息技术应用水平。因此，除极少数学校外，绝大部分学校没有实际实施和常态化应用的可能。

研究团队认为，所谓“学科信息化”是对教育信息化大概念的聚焦和落地。教育信息化可以包括学校管理、教务管理等各个方面。而服务于学科教学方面，则可以用学科信息化的概念来定义，即将信息技术与学科教学的个性化需求相融合，提升学科教学的效率和质量。基于这一理念，学科信息化必须从学科教学的深度需求出发来考虑，而不能仅停留在一般信息化应用“加速信息流转效率”这一通用效果上。从这个意义上来说，学科信息化在中小学不同学科应具有不同的特点，不存在应用一个产品包打天下的可能，这对教育信息化厂商和各级各类学校也提出了新的挑战。

基于以上分析，结合前述多角度的调研访谈结果，我们认为在数学学科教学与信息化的深度融合领域，首先要解决的核心问题是抓手应用。即首先必须有一个具有学科特色，代表学科教学发展方向，能够充分发挥信息技术优势，切中教师学生需要，并且使用方便、简单好学的应用来带动教师和学生的积极参与。只有让教师和学生感受到学科教学与信息技术融合的效果和价值，激发出他们的主观能动性，让他们从自发到自觉地应用信息技术来开展教学活动，才有可能大范围推动技术与教学的深度融合这一目标。

学科信息化产品与通用教育信息化产品的区别在于学科特征上，而最能反映学科特征，也同时最具信息化价值的应该是各学科的教学资源。

从信息技术与学科教学融合的角度来看，教育信息化产品中真正为学科教学服务的媒介就是“教育资源”。因此，信息技术支撑学科素养提升的基本着眼点也应放在能够融合技术优势与学科特点的新型教学资源上。

这一点已经在英语学科的信息技术应用领域得到了很好的证明。目前，在义务教育、高等教育乃至成人职业教育领域，英语学科中信息技术应用水平较为领先。无论在课堂教学和课外自主学习方面，各类教育信息化产品应用广泛，效果明显，“单词、语音、作文、口语”等几类教育资源均利用信息技术做了有效提升，使得教学效果相比传统教学方式得到了极大的提升，因此，这些产品受到广大学生和教师的欢迎，进而带动了社会资源的大量投入，最终形成“投入-使用-见效-再投入”的良性循环局面。这一局面的形成，使英语学科信息化工作不再停留在学校和研究机构的小范围内，而是基于大量优质社会资源的高效投入从而不断更新换代，形成了水涨船高的主动创新的良好形势。

基于对英语学科信息化形势的分析，我们反观数学学科信息化工作就会发现其相比英语学科在抓手应用方面存在不足。数学的内容具有高度抽象的特点，更需要学生的主动参与才能变记忆为构建，达成数学素养的有效培养。恰恰因为数学的抽象性，给数学课堂教学创新造成了很大困难。很多教师都有这样的困惑：

如何打造能让学生主动参与、交互、活动的场景？并在互动教学活动中有效还原学生的数学体验，提供发现规律及问题解决的支撑？如何有效激发、调动和导向学生的内在认知动机和能力，在传递数学知识的同时培养数学素养？

以上问题的提出恰恰是数学学科信息化的核心需求，但是当我们反观数学学科的信息化产品时，发现其产品存在浮于表面，知识陈旧等问题。如图1所示，是现有数学信息化产品的构成。

图1 现有数学信息化产品构成

相比英语学科而言，在数学学科领域应用的信息化产品，除各学科通用的备授课和测评类产品外，很少具有深层次学科特征。而专业性的数学产品，例如“几何画板”、图形计算器等教学工具，其中内置的数学模型运用得当可以有效实现数学现象的精准制作，依此实现的显性化数学模型，可以实现认知解构、建构及重构的导向。但鉴于这类专业工具本身的使用复杂度高，因此需要对老师进行大量培训工作，同时这类软件和设备的使用成本高，很难在学生中大面积普及。因此，此类过于专业的数学学科信息化工具目前在国内一直处于难以普遍推广的局面。而传统的课件资源（如PPT、Word等）以及新近的微课资源虽然都可以视为技术对“知识讲授”提升效果的资源，但它们都因为无法充分调动学生的“主动参与”而无法达到新课标对主体教学要求的满足。

从国际数学学科发展的情况来看，“游戏化教学”被地平线报告列为一个未来教育重要的发展方向，但目前的数学游戏还停留在PC时代，多以练习及问题解决的趣味化为主；对课堂教学（新授课）及数学素养的建构少有帮助。自适应学习、个性化学习是另一个重要的未来教育方向，但目前它所依赖的题库还是传统的题库，并没有将数学素养的全面评估纳入考虑范畴。

总之，在数学素养培养及变记忆为体验的数学教学中，已有的PPT、视频、游戏及自适应题库等技术及资源都没能为教师及学生提供有效的帮助。我们亟待挖掘新的技术可能性来创新数学学科资源，以期满足、带动、引领数学学科的新课标、新教法、新课堂、新方向。

我们发现，优秀教师在自己的教学中已经设计了有效的数学教具、数学活动、数学实验、数学场景，实现了数学问题的具象化。并在此基础上进行了大量有益、有效的直观教学、活动教学、互动教学及协作教学的工作。然而在这些工作中，由于对自制教具或实验器材的依赖，课堂上活动的难于掌控，以及在活动中教师对学生的认知导向的不易，而难于常态化、大批量复制。如果我们能用技术将这些实践加以萃取、固化、提升和广泛推广应用，则可以成为数学教学中急需的“学科特色资源”。

结合调研实际和理论研究发现，以信息技术方式给予学科特色资源全新赋能所形成的数学学科信息化工具，将完全有可能成为这一领域的抓手应用。这也是教育部“以教育信息化带动教育现代化”给教育信息技术的发展指明的新方向、新要求在数学学科教学上的体现。因此，研究团队认为，以新型数学学科资源的建设为抓手，将有可能带动基层教师乃至社会力量的共同参与，将数学学科信息化工作推到一个新的高度，信息技术与数学教学的融合将得到更深入的发展。

三、信息化学科资源——抓手应用的建设

（一）抓手应用建设的基本要求

自2012年国家教育部发布《教育信息化十年发展规划（2011-2020年）》以来，全国各级各类学校和教育主管单位广泛开展了以“三通两平台”为核心的教育信息化基础设施建设。为具体了解基层学校信息技术基础设施的建设和使用情况，研究团队针对基层学校在数学学科教学方面的信息技术应用水平调研走访了河南省内郑州、开封、洛阳等地的十六所学校（其中小学十所，初中六所）。同时，为扩大样本面，更全面地了解了国内相关领域的实际水平，同时也对南京市两所、西安市三所学校进行了调研工作。需要说明的是，上述学校中市区、县城和乡村学校的比例约为2：3：2，样本具备较为普遍的代表性。

在开展学校调研时，我们按照学校所处学段和教室信息技术装备配置情况两个维度对调研对象进行了分类，具体如下：

A类：配备电子白板（一体机），但网络不稳定；

B类：配备电子白板（一体机），网络稳定；

C类：除具有B类的基础设施条件外，另有至少一个电子书包实验班。

对于调研学校根据以上分类进行统计，得到如表2所示结果。

表2 样本学校的分类

调研主要采用了实地走访、课堂观摩、教师学生访谈和问卷调查等方式，其中对所有学校都进行了实地走访，每个学校保证至少有一次课堂观摩和一次教师访谈活动，访谈教师超过100名。调研中，教师问卷发放136份，实际回收122份，其中有效问卷92%；学生问卷发放1143份，实际回收1109份，其中有效问卷88%。样本数、有效率达到调研要求。

调研阶段除走访基层学校外，为充分了解国内外数学学科信息技术应用领域的最新研究成果，课题组与北京师范大学、华东师范大学相关领域的专家教授进行了交流研讨，并通过他们与美国佛罗里达州亚特兰大学数学教授Markus Hohenwarter所主导的国际GeoGebra研究院（International GeoGebra Institute）建立了联系，并对国际范围内中小学数学学科信息技术的前沿应用水平进行了调研。

在调查了基层学校教学需求和配套设施情况，并通过对科研院所的调研了解了该领域的发展方向和前沿水平后，课题组对国内主流的教育软硬件研发厂商也进行了走访，以便了解当前市场的实际研发能力，确保课题研究方向在保证先进性的同时具备实际推广价值。所调研厂商包括人民教育出版社数字中心、江苏凤凰传媒集团数字中心、河南教育音像出版社、北京立思辰科技股份有限公司、北京触学科技有限公司等。

经过前期的充分调研后，研究团队与省内外多名数学教研员，数学特、高级教师，高校专家学者和信息技术专家开展了深入的教学研讨和技术方案选型论证，并选择部分学校作为方案验证基地校。经过半年多时间的反复研讨和实践，把前述抓手应用定义为“动态数学学件案例库”，并对该抓手应用确定了较为明确的建设要求：

（1）在教学理念上应强调数学学科核心素养的提升，支持探究式学习、项目式学习等教学方式；

（2）在技术方面充分考虑网络不稳定情况下的无障碍使用，支持跨平台教学、移动学习、混合式教学等新型教学需求，并能够为教学数据分析提供必要的技术支持。

（3）“动态数学学件”应支持“一云多端”的技术架构，保证在PC机、智能手机、平板设备等多种环境下无障碍使用。

以上产品建设方案有具普适性和前瞻性兼顾的特点，可支持投影教室、电子白板（触摸一体机）教室、普通电脑教室以及先进的电子书包班等应用环境，确保了一般学校和优质学校普遍使用。

其次，方案充分考虑新兴教学理论的要求，对探究式学习、混合式教学、移动学习的需求都予以满足，充分体现学科教学的前瞻性要求。

最后，考虑到目前国内学生家庭普遍配置智能手机，并且大多数城市家庭具有一台以上PC机和平板设备的现状，方案能够普遍支持学生在家庭的自主学习活动，使移动学习和泛在式学习成为可能。

（二）抓手应用的设计理念

动态数学是强调“做中学”的数学教学理念，指通过动手动脑“做”数学的一种数学学习活动。在传统教学方式下，学生可以运用有关工具如纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具以及计算机等，运用数学思维来进行以实际操作为特征的数学验证或探究活动。

动态数学强调着力于学生的学，鼓励学生以类似科学实验的方式进行主动探索，强调“从做中学”、“从实验中学”，通过学生主动的“做”或“实验”等探究过程，掌握数学知识，积累基本的活动经验，培养创新精神、动手能力和解决问题的能力。动态数学的教学将过程与结果、操作与思维、实验与论证、证伪与证实有机融合，使得数学教学变得完整而有活力。

动态数学的教学过程是将抽象理论变为直观化、可视化的一种教学方式，其过程是学生在教师的引导下，亲身经历一个概念、规则的形成过程，通过动作思维和逻辑思维感悟知识发生过程、理解知识结果。动态数学的教学方式将知识背后的发现和探索过程以合理的方式展现出来，充分体现了数学的过程性特征；另一方面，对学生而言通过探究经历获得的知识会更加稳固地贮存于自己的认知结构中，强化了知识的静态特征。

动态数学的教学思想相比传统数学以学、练、测为基本元素的方式，在提升学生数学学科核心素养方面具有明显的优势。然而，在传统教学场景下，由于动态数学的“做中学”的要求，在实际操作中对课堂的有效组织提出了很大的挑战。同时，各类教学道具的使用，也为后勤、管理等带来了很大的负担。

基于对动态数学教学理念的理解，研究团队认为，数学教学不同于物理、化学等科目的要求，“做中学”的思想并不一定必须通过对实物教具的操作来体验。用信息技术手段来实现“做中学”效果，同时避免实物操作带来的物理性干扰，应该可以达到同等甚至在某些领域更优的教学效果。

（三）抓手应用的实现技术

在动态数学课件的研发技术上，研究团队主要参考使用了如下技术：

1.高交互数理化建模和互动技术

将建模、可视化及用户交互技术在高端的VR（虚拟现实技术）、CG（计算机图形学）、科学可视化等应用上积累的成果，移植到手机和平板上，并针对K12数学需求加以简化、拓展，建立高交互引擎，并详细应用到数理化的每个知识点、重难点上，建立包括概念理解、原理探究、例题图解、智能练习的完整的探究学习内容体系。

2.XML融合数字出版技术

考虑到一个动态数学学件可能需要融合传统的图文和目前互联网上广泛流行的视音频、SCORM内容、高交互程序、游戏等内容，并提供统一的浏览、下载、知识产权保护、触控使用的体验，以及统一的制作、发布和使用体验。为达到以上要求，需要一套兼容所有这些内容的标识体系，且这个体系必须是可以不断扩展的并可以满足不断发展的数字内容体验。研究团队的技术支持单位吸收XML（DITA）、ePub3及HTML5，研发出一整套针对上述需求的可扩展融合学件制作标准：EDXBook-ML。

3.教育的大数据采集分析技术

EDXBOOK的数据采集的复杂性远超出传统的类似PDF的阅读类数字图书。我们除了需要采集读者的一般阅读数据，还需要采集用户在多媒体、高交互等内容上的行为数据，同时还要记录用户在各种测试内容上的回答及对错。一本图书（100页，100题）和10000用户就可产生百万乃至千万数量的学习记录，我们采用NOSQL的大数据库对其进行有效记录。同时在此基础上，进行了群体学习行为建模、知识图谱建模，并在模型基础上用大数据构建量化的测评和评价分析，并实现自适应学习的闭环推荐算法。

4.文件格式统一标准

动态数学学件以HTML5为统一文件格式，以解决跨平台、多终端调用问题。同时，考虑到广泛推广时的成本问题，制作过程中有意选择使用对教育行业免费的开源代码和相关组件。

动态数学学件所采用的技术方案，可以视为成熟基础技术的组合应用，不存在过大的技术风险，并且可以为一般软件开发人员所熟练掌握。同时，考虑到目前学校骨干数学教师平均年龄在35岁左右，作为2004年以后毕业的大学生，绝大多数中小学数学教师具有超过其他学科教师的信息技术知识和技能水平。研究团队下一步也将考虑如何提供相对简单但能够达到上述技术标准的动态数学学件制作工具，我们认为绝大多数上述年龄段以下的数学学科教师应该能够运用信息技术工具，自行制作相对简单的动态数学学件。从而真正实现抓手应用的启发和带动作用。

（四）抓手应用典型案例分析

研究团队在深入分析教师在数学学科直观教学、活动教学和交互教学方面已有经验的基础上，融合几何画板、图形计算器、数学游戏的产品思想，对几类典型的数学难点课程进行了“动态数学学件”的研发工作。

1.典型的动手实验类课程——人教版小学五年下册《找次品》

《找次品》是人教版数学五年级下册第七单元数学广角的内容。现实生活生产中的“次品”有许多种不同的情况,有的是外观与合格品不同,有的是所用材料不符合标准等。这节课的学习中要找的次品是外观与合格品完全相同,只是质量有所差异,且事先已经知道次品比合格品轻（或重），另外在所有待测物品中只有唯一的一个次品。

“找次品”的教学,旨在通过“找次品”渗透优化思想，让学生充分感受到数学与日常生活的密切联系。优化是一种重要的数学思想方法，运用它可有效地分析和解决问题。本节课以“找次品”这一操作活动为载体，让学生通过观察，猜测，试验等方式感受解决问题策略的多样性，在此基础上，通过归纳，推理的方法体会运用优化策略解决问题的有效性，感受数学的魅力，培养观察、分析、推理以及解决问题的能力。该课程涉及了“优化、概率、总结规律“等多个数学知识点，是五年级教学的一个难点课程。

在传统教学方式中，本课程一般通过实物天平的操作来完成。在此过程中教师需要完成指导学生使用天平的基本常识、准备相应测量道具、组织学生进行实验记录等工作。此类工作与此课的核心教学目标关联不大，但占用大量课堂时间，同时却又是上好这节课的基础保证，不得不做。因此，研究团队尝试通过信息技术采用虚拟实验方式来辅助教师完成本节课的教学任务。

使用“找次品“这一动态数学学件的课堂过程与传统方式基本相同，均包括“问题导入、体验尝试、目标设定、动手探究、测量记录、总结讨论和结论输出”等步骤。但是省略了道具准备、器材分发、使用指导、道具回收等非核心环节。将课堂时间聚焦在了实验本身和规律探究上，提高了课堂效率。

研究团队与实验学校共同完成了“找次品”这一动态学件的研发，并在电子书包实验班中进行了实际课堂教学实验。课堂效果与传统教学方式相比，节约了10分钟的低效时间，起到了很好的课堂效果。该学件的图示如图2所示。

图2 “找次品”动态学件示意图

2.典型的数理探究类课程——人教版小学五年级下《分数的意义》

分数在人教教材中多个年级均有学习，五年级学生学习这部分内容之前已经在三年级上学期的学习中初步认识了分数，知道了分数的各部分名称，会读、会写简单的分数，会比较分数大小还会简单的同分母分数加减法。在本节课的教学中，单位“1”的形成概念非常重要。

传统课堂对此难点多用举例的方式进行，以口头表达引导的方式让学生理解单位“1”可以是一个个体也可以是多个个体的集合。但这一方法对于教师的引导能力要求很高，往往在课堂上会出现部分理解不通的学生似懂非懂地随波逐流糊弄过去。

研究团队经过与专家、教师的交流，设计了一个场景式动态数学学件（如图3）。

图3 场景式动态数学学件示意图

该学件的设计思想是构建一个教室场景，让学生手动操作改变教室中男女生的数量，学件同步显示男女生所占比例的饼图和具体分数数值。通过这种先设定分数目标、后设置对应实物数量的逆向思维方式，强化学生对分数意义的理解。该学件同时具备任意设置分数数值、无限拖放实物等功能，能够充分体现分数与实物之间的对应关系。在实际教学中使用，取得了非常好的教学效果。

3.典型的几何直观与空间认识课程——人教版初中三年级《三视图》

三视图是人教版初中数学教材九年级下的内容，在此之前学生已经数次接触过“从不同角度观察物体”的学习过程，对几何体从不同角度观察的视觉效果不同已有了初步认识。本节课的教学目标在于让学生接触一些基本名词术语并理解其准确含义，同时掌握典型几何体如“圆柱、圆锥、球、直棱柱”等三视图的画法。

在传统教学中，由于几何体教具在课堂实际使用中受到观察者所处角度的限制，教师使用教具很难让全体学生都看到标准的几何体三视图。因此，对于空间想象力差的学生，三视图成为了教学难点。此难点在信息技术支持下可以得到较好的解决，本节课的动态数学学件如图4所示。

图4 《三视图》动态数学学件示意图

该学件的功能如下：

（1）可选择教学要求中多种几何体进行演示；

（2）几何体可以使用鼠标或手指触控操作，沿X、Y、Z轴旋转，对应投影可以改变；

（3）可以通过鼠标或手指触控改变观察视角，体会不同角度的视觉效果；

（4）可以调整几何体的大小，对应视图相应改变。

上述功能的实现，使实物教具可起到引导作用，而让三视图教学完全摆脱了实物教具的使用困扰，极大地提升了学生对知识的理解。

（五）建设的成果

研究团队在技术合作单位的支持下，选择小学、初中部分重难点内容进行了动态数学交互式学件的研发工作，最终制作完成了小学一至六年级十二个难点课程配套学件，初中七至九年级难点课程配套学件十五个。这些学件获得了动态数学领域有关专家、教师的一致好评，并已经在课题基地学校进行了实际使用并取得了很好的效果。目前已完成的动态学件目录如表3所示。

表3 动态学件目录（学期排序以2016版人教社数学教材为准）

面动成体正方体的11种展开方式不等式组的解集在数轴上的表示数学测试成绩分配直方图坐标系中的平移平方差公式的几何意义做轴对称图形中点四边形一次函数的图像和性质垂直于弦的直径丢掷一个骰子实验二次函数一般式的图象反比例函数k的几何意义几何体的三视图七年级下八年级上八年级下九年级上九年级下14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

限于研究团队所能调动的资源，无法实现小学初中全部动态学件的案例制作。虽然考虑到义务教育领域存在很大的地区差异，因地制宜的制作动态学件将是最优选择。但从抓手应用的普适性与启发性定位来说，如果能够制作出覆盖义务教育阶段数学全部知识点的动态数学学件。一方面能更好地刺激数学教学方式的变革，另一方面也能起到抛砖引玉的作用，激发教师的主观能动性，创作出更具地方适应性的动态数学学件资源。并且，我们认为体系化的动态数学学件这种信息技术与数学学科成功深度融合的典型案例，应该能够启发学校、科研院所乃至社会力量对数学学科信息化在深度和广度方面的更多探索，从而带动该领域的更好发展。

四、反思

研究团队在与各学校开展合作过程中，深刻认识到以提升数学学科素养为目标的学科信息化工作是一项涉及教学理念、教学方法升级的系统工程，必须因时、因地，结合区域和学校特色来开展系统、周密的部署与实施。这项工作的开展，首先要摒弃短平快、“特效药”的运动式改革的想法，任何有志于在教学实践中为提升学生数学学科核心素养做出实效的学校、教师和社会力量，都必须有长期坚持的思想准备。同时，即使有了抓手应用，其成熟度和有效度也必须在实践过程中不断提升改进。因此，对于学科信息化工作，我们认为应该有以下几个基本认识：

（一）优化而不是否定既有经验

学科素养并不是一个全新的育人目标，它更多的是对现有学科教育关键目标的调整和优化。大量教学实践和优秀学生培养案例已经证明，正如素质教育与应试教育并不是天然对立的两个极端一样，真正成功的学科教学工作，在一定学科素养的培育上也是同样成功的。我们需要做的是借助抓手应用吸引更多的人员加入到学科信息化工作中，以便于发现、归纳、总结和提升优化这些经验，并形成更多的效率工具和执行方法，使自发升级到自觉，而不是盲目否定既有经验，进行所谓的全新创造。

（二）引导式提升而不是运动式灌输

在承认既有教学经验的前提下，我们同时也必须看到并不是所有学校、所有教师、所有学生都有学科素养，这是实现关键教学目标所必须的深刻认识，并且诸多的现实条件也限制了这方面工作的开展。因此，在实际环境中，必须先让参与此项工作的教师和学生能够体验到参与其中的价值和乐趣，逐步引导他们为此付出努力，这样才有可能使学科核心素养内化为教师的教学目标和学生的学习方向，也才有可能长期坚持直至见到实际效果。

（三）成果的固化与效率工具的打造

一直以来，教学经验的传播受到载体的限制，尤其是思路方法等往往不能通过文字的方式高效传达，而示范课等形式又有很大的局限性，无法系统、及时、大规模地进行传播复制。在信息技术的条件下，我们已经有了更多的方式来表达思想，不再受制于静态的文字和图片，已经能够在很大程度上让观念方法等过去很难表达的内容，更容易地被受众感知和消化。以动态数学学件为代表的数学学科应用即秉承这一思路而打造，我们相信除此之外，结合数学学科的教学特点，一定还有其他的可以通过信息技术手段实现固化、复制、提升的方面。

（四）开放、众筹、分享的互联网合作机制

以学科素养提升为目标的数学学科信息化工程是一个大课题，孤立的单个学校、单个教师也许有机会解决这个问题，但是与建立了开放、众筹、分享机制的互联网化研究体系相比，肯定是效率低且不全面的。因此，建立这样一个机制，将是这一大课题的参与者必须接受的基本规则。我们希望以动态数学学件抛砖引玉，激发更多人的思考和创造，再将更多人的思考和创造通过互联网这一高效连接分享工具向全体数学学科教师推广，这样才能真正调动资源去攻克学科信息化这一深水工程的难关。

基于以上认识，我们认为要推动数学学科信息化工作的进一步发展，需要更多的学校、教师和社会力量参与到这一工作中。而为了便于参与者之间的有效合作，应该建立一定的校校、校企合作机制来确保工作的有效进行。研究团队认为这个机制至少应该包含以下几部分。

1.平台支撑机制

需要有一个平台为参与这一工作的各方提供动态学件的基本制作工具、成品动态数学学件的展示功能，以及人员交流、分享的互联网场所。该平台需要有一个具体的支持单位，并需要为该支持单位建立合理回报方式，这样才能保证平台的长期稳健发展。

2.资源共建与有偿分享机制

加入以上平台的各方，均有义务为动态数学学件乃至数学学科信息化工作建设贡献力量。其中，平台上的动态学件应当优先在合作方之间进行传播与使用。在传播与使用中，遵循有偿分享的原则，尊重任何一方的智慧劳动成果。具体的方式，可采用资源互换、合作共建或付费获取等一对一或多对多的各类方式。

3.经验交流机制

鉴于学科信息化工作的长期性和复杂性，我们认为有必要在上述参与者之间建立相对固定，但不限于线上和线下的经验交流与成果推广机制，具体可通过建立公益性联盟等方式实现。此联盟将以纯公益的方式推动联盟内部的经验分享、教研交流活动。

以上机制的思考，限于研究团队目前主要资源和精力专注在动态数学学件的研究上，肯定存在很多问题，但这里依然作为一个问题提出，希望业内专家学者共同思考，为学科信息化工作如何调动广泛的资源来设计更新更好的模式。

五、总结与展望

信息技术与数学学科教学的深度融合是一项专业性强、系统性高且带有学术前瞻性的工作，它的任何一个细分领域都不是一个单独的机构或某些个人能够彻底解决的问题。

因此，笔者试图对数学资源予以信息化赋能，建立”中小学动态数学学件案例库”这一“小而美“的抓手应用，并将其推广普及，激发带动更广泛的体制内和社会资源参与到学科信息化这一大工程之中。并且，群策群力建立以”学科素养提升“为基本衡量标准的学科信息化评价体系并形成共识，辅以各方面资源方之间的有效的合作机制，从而实现聚合资源、集中发力的长期目标，如此才有可能有效解决信息技术与数学学科教学深度融合这一教育信息化深水区难题。

参考文献：

[1]中国教育部.教育信息化十年发展规划（2011-2020年）[S].2012.

[2]教育部基础教育司.数学课程标准解读[M].北京：北京师范大学出版社,2002.

[3]涂荣豹.数学建构主义学习的实质及其主要特征[J].数学教育学报,1999(04).

[4]岑健林.诠释美国国家教育技术计划2010[S].哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社,2011.

[5]宁连华.动态数学观——数学探究学习的本体论基础[J].江苏师范大学学报（自然科学版）,2006,24(02)：46-49.

[6]江世宏.图形计算器与数学实验[M].北京：科学出版社,2008.

[7]喻平,董林伟,魏玉华.数学实验教学：静态数学观与动态数学观的融通[J].数学教育学报,2015(01).

[8]王林全.近十年美国数学课程思想的演进[J].课程·教材·教法,2000(10).