具有强Allee效应及Holling-Ⅱ型反应项的捕食-食饵模型的全局分歧解及其稳定性

冯孝周,孙素平,戴志敏

(西安工业大学 理学院，陕西 西安 710032)

0 引言

2014年，Aguirre等[1]基于常微分方程及反应扩散方程分歧解理论,证明了具有临界Allee效应及Holling-Ⅱ型功能反应项的一类捕食-食饵模型所有解的有界性和非负性，并分析了正解的稳定性及产生局部分歧和Hopf分歧的条件.其研究的捕食-食饵模型如下:

(1)

(2)

1 非常数平衡态正解的存在性

(3)

引理1[2]系统(3)的特征值满足以下条件：

相应的特征函数为φ1,φ2,φ3,φ4,φ5,…,且主特征值λ1(q)是单重的,即

并且，若q1(x)≥q2(x),则λj(q1)≥λj(q2);若q1≢q2,则λj(q1)>λj(q2).记λ1=λ1(0),对应的特征函数记为Φ1>0,x∈Ω.

考虑非线性边值问题[2,6]

(4)

若a≤λ1(q),则u=0是问题(4)的唯一非负解；若a>λ1(q),则问题(4)有唯一正解.特别地,若q≡0,a>λ1,则问题(4)存在唯一正解,记为θa,且映射a→θa在(λ1,∞)内关于a严格递增且连续可微.

考虑半线性边值问题[4]

(5)

其中0

引理2[4]设00使得如下结论成立：

( i )当α<α*时,边值问题(5)只有零解；

( ii )当α=α*时,边值问题(5)有一个非平凡解；

(6)

由引理2知,当00,使得

( i )当α>α*时,系统(2)存在2个半平凡解(θ,0)和(Θ,0),且θ<Θ;

( ii )当α=α*时,系统(2)仅存在1个半平凡解(θ0,0).

矛盾,因此u(x)≤1.

令ω=βu+mv,则有

(7)

从而有

为方便讨论,令

固定α>α*,00}出发,利用局部分歧理论构造系统(2)的正解．

令ω=u-Θ,χ=v,则-Θ<ω≤1-Θ,χ>0,且(ω,χ)满足方程

其中

则T(d;ω,χ)为X上的紧可微算子．令G(d;ω,χ)=(ω,χ)′-T(d;ω,χ),则函数G连续且G(d;ω,χ)=0,易知G(d;ω,χ)满足-Θ<ω≤1-Θ,χ>0的零点恰好为系统(2)的非负解．

L(d0;0,0)(ω,χ)=

因此L(d0;0,0)(ω,χ)=0等价于

(8)

若χ≡0,则由引理3知，L0=Δ+α(-3Θ2+2(b+1)Θ-b)的所有特征值都小于0,故L0可逆,从而ω≡0,矛盾,所以χ≢0.

设χ1为特征值问题

另外,设(φ,ψ)∈R(L(d0;0,0)),则存在(ω,χ)∈X使得L(d0;0,0)(ω,χ)=(φ,ψ),故

即

(9)

对问题(9)中第二个方程两边同乘上χ1并在Ω上积分得

又因为

所以

由简单特征值的分歧定理[6]可知,存在δ>0和一个C1函数类

使得d(0)=d0,φ(0)=0,ψ(0)=0,φ(s),ψ(s)∈Z,其中X=Z⊕N(L(d0;0,0)),即Z是N(L(d0;0,0))的补集,且

满足方程G(d(s),ω(s),χ(s))=0,因此(d(s),u(s),v(s))为系统(2)的分歧解,并且解是非负的,其中

u(s)=Θ+ω(s),v(s)=χ(s). 】

记系统(2)的正分歧解分支为

2 局部分歧解的延拓

本节利用全局分歧延拓定理，对定理2的局部分歧解曲线沿着参数d进行延拓，得到系统(2)的全局分歧解曲线及变化趋势.

引理4(全局分歧定理[7]) 若存在δ>0,使得I-K(d)在0<|d-d0|<δ上可逆,且index(T(d,·),0)在(d0-δ,d0),(d0,d0+δ)上均为常数,但当d0-δ

( ii )C在R+×X内由(d0,0)延伸到∞．

定理3设α>α*,0

证明令K(d)=Ω(ω,χ)T(d;0,0),设μ≥1为K(d)的特征值,相应的特征函数为(ω,χ),则

(10)

如果χ≡0,因为μ≥1,所以

即算子μΔ+α(-3Θ2+2(b+1)Θ-b)的所有特征值小于0,从而可逆.因此ω≡0,矛盾．所以χ≢0,那么存在某个i,使得d=di(μ),其中di(μ)是

(11)

的特征值.由变分原理可知，di(μ)关于μ单调递减，即

d1(μ)>d2(μ)≥d3(μ)≥d4(μ)≥…→ -∞.

因此μ≥1为K(d)的特征值当且仅当存在某个i,使得d=di(μ).

假定d>d0=d1(1),则对任意μ≥1,i≥1,有d>di(μ)，故K(d)没有大于1的特征值,因而index(T(d,·),0)=1.

由上面的分析可知,N(K-μ1I)=span{(ω,χ)},其中χ为

的主特征函数,

ω=(μΔ+α(-3Θ2+2(b+1)Θ-b))-1(mχ),

所以

dimN(K(d)-μ1I)=1.

设(ω,χ)∈R(K(d)-μ1I),则存在(u,v)∈X,使得(K(d)-μ1I)(u,v)=(ω,χ),故

(12)

对方程组(12)的第二个式子两边同乘χ并在Ω上积分可得

R(K(d)-μ1I)∩N(K(d)-μ1I)={0},

从而μ1是K(d)的单重特征值,即当max{d2(1),0}

index(T(d,·),0)=-1.

故由定理3知,在R+×X中,存在从(d0;0,0)分歧出的连通分支C0满足G(d;ω,χ)=0,且在(d0;0,0)附近,G(d;ω,χ)的所有正解都在分歧曲线

{(d(s),sω1+sφ(s),sχ1+sψ(s)):-δ

上.令

则在分歧点附近C1满足：

{(d(s),sω1+sφ(s),sχ1+sψ(s)):0

C是系统(2)从(d0;Θ,0)出发的解分歧曲线.定义

则在(d0;Θ,0)的邻域内C⊆P,且满足下列条件之一：

( ii )C在R+×X中由(d0;Θ,0)延伸到∞;

Z⊕N(L(d0;0,0))=X.

下面利用文献[8]的方法,对全局分歧解的形式作进一步分析．

当C-{(d0;Θ,0)}P时,存在且为数列{(dm,um,vm)}的极限,其中

故U≡0,矛盾．

3 局部分歧解的稳定性

下面使用特征值扰动定理[2,6]在(d0;Θ,0)邻域对共存解的稳定性进行分析．令

引理50是算子L2的i-单重特征值,并且是L2实部最大的特征值,其它的特征值都在左半复平面上．

证明由定理2的证明可得

又因为i(ω1,χ1)∉R(L2),所以0是L2的i-单重特征值．

假定μ0是实部最大的特征值,并且Reμ0>0,(φ,ψ)为对应的特征函数,则L2(φ,ψ)=μ0(φ,ψ),即

(13)

由于0是L2的i-单重特征值,且L2的所有其它特征值都在左半复平面上,因此存在分别定义在d0和0邻域内的函数：

d→(γ(d),U(d)),s→(η(s),V(s)),

使得

(γ(d0),U(d0))=(0,(ω1,χ1))=(η(0),V(0)),

并且

其中U(d)=(u1(d),u2(d)),V(s)=(v1(s),v2(s)),并且γ′(d0)≠0.又若η(s)≠0(|s|≪1),则

其中d′(s)为d(s)关于s的导数,γ′(d0)为γ(d)关于d在d=d0处的导数．

分歧解(u(s),v(s))的稳定性由η(s)的符号决定,当η(s)>0时分歧解是不稳定的,当η(s)<0时分歧解是稳定的,而η(s)的符号与sd′(s)γ′(d0)的符号相反,因此可通过判断sd′(s)γ′(d0)的符号来判断分歧解的稳定性．

引理6在定理2的条件下,γ′(d0)<0.

证明由L(d;0,0)U(d)=γ(d)U(d)可知

定理4定理2得到的分歧正解(u(s),v(s))是线性稳定的．

证明把分歧解(d(s),u(s),v(s))=(d(s),Θ+s(ω1+φ(s)),s(χ1+ψ(s)))带入系统(2)的第二个方程,两端同时除以s,再关于s在s=0处微分可得

其中ψ′(0)为ψ(s)关于s在s=0处的导数．在上述方程的两端同时乘以χ1,然后在Ω上积分,并利用Gauss公式可得

即

4 结论

研究了一类具有强Allee效应和Holling-Ⅱ型功能反应项的捕食-食饵模型解的存在性、分歧和稳定性，得到了系统非负平衡解的先验估计;以捕食者死亡率d为分歧参数,利用局部分歧理论，研究了系统在非负半平凡解(Θ,0)处分歧解的存在性;利用全局分歧理论，将局部分歧解延拓到全局分歧解,并证明了全局分歧解沿参数d延伸到无穷;最后利用特征值扰动原理，证明了局部分歧解是线性稳定的.

参考文献:

[1] AGUIRRE P,FLORES J,GONZALEZ-OLIVARES E.Bifurcations and global dynamics in a predator-prey model with a strong Allee effect on the prey,and a ratio-dependent functional response[J].NonlinearAnalysis:RealWorldApplications,2014,16:235.

[2] 叶其孝，李正元.反应扩散方程引论[M].北京:科学出版社，1990:37.

[3] 钟承奎,范先令.非线性泛函分析引论[M].兰州:兰州大学出版社,2004:104.

[4] OUYANG T,SHI J P.Exact multiplicity of positive solutions for a class of semilinear equations[J].JournalofDifferentialEquations,1998,146:121.

[5] KORMAN P,LI Y,OUYANG T.An exact multiplicity result for a class of semilinear equations[J].CommunicationsonPartialDifferentialEquations,1997,22:661.

[6] SMOLLER J.ShockWavesandReactionDiffusionEquations[M].New York:Springer-Verlag,1999.

[7] WU J H.Global bifurcation of coexistence state for the competition model in the chemostat[J].NonlinearAnalysis:Theory,Methods,Applications,2000,39(7):817.