摆线针行星机构传输性能数学模型的创建

冯蕾

（湖北工程职业学院，湖北黄石435002）

1 简介

齿差2K-H摆线针行星机构，由于它的简单、紧凑和自锁性能被广泛应用于汽车座椅调角器中。可是，在应用中，由于组装工序、制造误差、齿廓修饰和润滑条件的影响，调角器机构的实际齿廓不是通常意义上的短振幅外摆线。这样导致节距圆的形状和大小存在微小的变化。严重影响齿形的传输性能，无法满足自锁的性能。本文研究的目的在于找到驾驶时运动学参数的依赖性以及自锁时刻。

2 正传输的性能

正传输在设计时要求当在转动臂H.给予1 Nm的最小力矩，针齿轮b1就能旋转。如果此时输入部件H的力矩＞1 Nm，输出力矩必须Mb1＞零。

据力学分析，建立如图1所示的直角坐标系。b1为针齿轮旋转中心,Ob为原点。

2.1 转臂H作为隔离体力学建模

转臂H是一个偏心轮，分析其受力情况如图1所示。包括外力矩TH、支持力FR1、摩擦力 μ2FR1、支反力 Qx和 Qy。假设转臂在做匀速转动，则其力学平衡方程为：

其中，d01为内滚道直径;e=OgOb为轮与针轮中心间的距离;α1为支反力R1与x轴夹角;μ2为径向推摩擦系数。

2.2 联摆轮g1_g2隔离体

设μ1是齿轮副的滑动摩擦系数。联摆轮g1_g2的受力示意图如图2所示。法向力F1i作用于啮合点针齿轮b1，法向力F2i和切向摩擦力μ1F2i，切向摩擦力μ1F1i作用于销齿轮b2的啮合点处，切向摩擦力μ2F2作用于R2与由轴的臂轴承间。

设P1i（i=1 ,2 ,....,n1）和P2i（i=1 ,2 ,....,n2）分别为两对齿轮副b1和g1，在啮合点齿廓公法线方向与转臂的交点为b2和g2；两个共轭对的齿轮之间的实际啮合齿数分别是n1和n2;销齿轮b1和b2的第i个圆柱形啮合元件的中心分别为 Z1i和 Z2i。ObZ1i，ObZ2i与 y 轴的夹角分别是 θb1i和 θb2i。A1i侧是齿轮b1和g1的啮合点。

根据∑MOg=0，∑Fx=0，∑Fy=0，得出三个力学方程为:

其中 l′1i是点 Og到线 P1iA1i的距离。

根据弹性，在针齿轮b1与摆线齿轮g1啮合齿间形成的正应力F1i，将与形变方向的力Fi[13,14]成正比，即：

其中，F1max（本文中简写为Fm1）为b1和g1尺廓啮合间的最大正应力。

与此类似，b2和g2的啮合齿间的正应力 F2i，即：

上述方程代入方程（2），则：

2.3 针轮b1为隔离体

进一步分析针轮b1的受力图，如图3所示。在针轮b1上的作用力包括:法向应力F1i和切向摩擦力μ1F1i，法向作用力R1和切向摩擦力μ2R1。

图1

图2

图3

图4

其力平衡方程为：

根据公式（4）和（5），则：

将方程组（7）、（8）、（9）组合，可简化为：

如果要让针轮b1旋转，必须满足以下条件：

它也可以表示为

首先，从几何关系中找到几何参数。其次，系数可以由所有几何参数代入系数方程来获得。再次，由方程式算出Fm1和R2。最后，求得针齿轮b1的力矩Mb1。

2.4 几何参数

从已知参数如齿轮的齿数算几何参数；圆柱形销齿轮的半径；销齿轮定位中心圆的半径、偏心距。

2.4.1 间隙角 δb1和 δb2

销摆线传动情况如图4所示，其中，实线和虚线分别代表一对齿轮齿形的理论啮合和实际啮合的状态。由此针齿轮在接触摆线轮之前需要从位置D1i到位置C1i转动一个角度 δb1。假设初始间隙符号是 Δ（ φ1），如图 4i所示。齿隙是按照下列公式计算：

其中，（xC1i，yC1i）是的坐标。由图4几何关系，（xC1i，yC1i）可被计算如下：

将 离 散 点 的 坐 标 （ x1ij，y1ij）和 表 达 式（14）带入公式（13)，得到一个函数：

因此，Δ （ φ1）是 δb1的函数，其中，0≤δb1i

因为粗糙度优于负载引起的形变值，ε由齿廓面的粗糙度决定。

使用二进制搜索方法获得它的数值解，如下表示：

在它们共同的正方向的一个或几对齿廓之间的距离 Δ（ φ1）≤一个设计阈 ε而任何其它对之间的距离 Δ（ φ1）≥ε。集合 [im1，im2]的元素的数目为n1，也就是在同步啮合情况下牙齿的对数。

代表摆线轮g1实际啮合点的坐标必须满足条件以下：

其中 Δ （ φ1）是 （ x1ij， y1ij）的子集，对于针i齿轮b1的圆柱形啮合齿来说，其相关的中心坐标为 （xZ1i， yZ1i）（i∈ （ 1,n1）），Δ （ φ1）也是i（xC1i， yC1i）的子集。

由于摆线齿轮由线切割机来制造而成 ，这 些参 数 如 δb1，（xA1i， yA1i），（ xZ1i，yZ1i）和n1可以通过已知的数值迭代一次后依照加工步骤生产而获得。

类似的方法也可以得到齿轮副b2和b1 的参数 δb2， （xA2i， yA2i）， （ xZ2i，yZ2i）和 n2，并加工出齿轮副b2和b1。

3 结论

基于实际啮合传动过程的静态分析，考虑齿轮副之间的摩擦，提出了一个齿差2K-H摆线针行星机构的传输性能的数学模型，。在此理论的指导下，汽车的座椅调角器机构的自锁性能被提高，也为进一步的调查打下坚实的基础。

[1]万志成.六自由度排爆机械臂控制系统设计[D].上海交通大学,2008.

[2]Bar-Cohen,Yoseph,et al.Biologically Inspired Intelligent Robotics.Proceedings of the Academy of Natural Sciences of Philadelphia,2012.

[3]黄纯颖.机械创新设计[M].北京：高等教育出版社，2008.