高考中与圆相关的最值问题

赵志岩

(辽宁省抚顺市新宾满族自治县高级中学 113200)

一、已知含参数直线与圆位置关系，求直线方程中参数取值范围问题

画出圆，利用直线过定点，结合图形即可确定直线方程中满足的条件，利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式，列出关于参数的不等式或方程，即可求出参数的范围.

点评对已知直线与圆或可化为圆的曲线的位置关系求参数范围问题，数形结合是寻找解题思路的关键，要熟悉直线与圆的位置关系的判定，正确运用点到直线的距离公式.

二、已知点满足与圆有关的某个条件，求圆中参数或点的坐标的取值范围问题

作出相应的图形，利用数形结合思想找出圆中相关量，如圆心坐标、圆心到某点距离、圆的半径、圆的弦长或圆的弦心距等满足的条件，列出不等式或方程或函数关系，再利用相关方法求出参数的范围.

例2 设点M(x0,1)，若在圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是( ).

点评本题主要考查了直线与圆的位置关系及数形结合思想，解决本问题的关键是通过数形结合找出点M满足的条件.

三、与距离有关的最值问题

在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等常常涉及圆上一点到直线的距离最值问题、切线长最值问题、圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题、过定点的圆的弦长最值问题等.这些问题常常利用平面几何知识或圆的参数方程或设圆上点的坐标，直接求出最值或转化为函数的最值问题，利用函数求最值的方法求解.与圆有关的长度最值问题有以下题型：

①圆外一点A到圆上距离最近为|AO|-r，最远为|AO|+r；

②过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；

③直线与圆相离，则圆上点到直线的最远距离为d+r，最近距离为d-r；

④过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积;

⑤圆上动点与其他曲线上动点间的距离最值问题常转化为圆心与曲线上的动点距离问题，利用两点间距离公式转化为二元函数的最值问题，利用消元法转化为一元函数在某个区间上的最值问题求解.

点评对于与圆有关的长度最值问题，要掌握相关题型与转化方法，利用几何法或函数法求出最值.

四、与面积相关的最值问题

与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.

A．有最大值8π B．有最小值2π

C．有最小值3π D．有最小值4π

∴Smin=πr2=4π.

点评本题主要考查直线与圆的位置关系、转化与化归思想及运算求解能力，转化与化归思想是解题的关键.

五、圆上点的坐标满足关系式的最值或取值范围问题

本类问题有三种解题思路，思路1：充分利用所给式子的几何意义，利用数形结合思想解题；思路2：设所给式子等于z，代入圆的方程化为一元二次方程，利用判别式即可求出参数的范围；思路3：利用圆的参数方程或消元法化为函数问题，利用函数求最值的方法求最值,注意变量的取值范围.

综上所述，解决与圆相关的最值问题的关键要善于利用数形结合思想，利用几何知识求最值，要善于利用转化与化归思想将最值问题转化为函数的最值求解.

参考文献：

[1]教育部考试中心.2017年普通高等学校全国招生考试数学科理科大纲的说明[Z].北京：高等教育出版社，2017.

[2]李花花.高中数学教学中运用数形结合提高解题能力的研究[D].天津：天津师范大学，2008.

[3]陆永刚.高中数学教学中培养数学思维能力的实践探析[J].信息化建设，2016(06)：210.