数学中“1”的妙用

赵盼盼

(辽宁省盘锦市辽东湾实验高级中学 124000)

数字“1”有很多性质，比如任意一个数(式子)乘以1或除以1仍然不变．在解决某些问题时，用“1”转化或巧妙地用“1”作适当的替换从而可以获得巧妙的解法．这样在解题时会起到意想不到的效果．本文从三角函数、对数函数、求最值、积分、行列式五个方面来说明如何巧妙利用“1”来解决问题．

一、“1”的应用

1. “1”在三角函数中的应用

三角函数在高考中有着举足轻重的地位．有些同学在学习三角函数时感觉费力，感觉计算量大，公式难记忆．在三角函数计算中常把“1”表示为某些特定的三角函数形式或某些特定的三角函数值进行计算．

例1 tanα=2，求2sin2α+3sinαcosα-cos2α的值.

这道题是齐次式，解决本类题的方法是化弦为切．利用三角恒等式sin2α+cos2α=1中“1”的代换，将整式化为分式，看似麻烦，实则避免直接求sinα，cosα的麻烦．

例2 计算cos20°cos40°cos60°cos80°．

2. “1”在对数函数中的应用

高中数学中的对数函数是指数函数的反函数，学习起来比较困难．但同时对数函数是高中数学学习的一个重要内容，在考试中占一定分量．

例3 (第一届美国数学邀请赛试题)设x,y,z都是不等于1的正数．logxw=24，logyw=40，logxyzw=12，求logzw．

解根据logab·logba=1

所以logzw=60．

对数函数的计算中，常用logab·logba=1对式子进行转化，再利用对数函数的运算法则进行计算．

3. “1”在求最值中的应用

在利用均值不等式时要注意“正定等”．在解题过程中应用式子乘上1仍等于原式，通过整理，利用均值不等式得出结果．

例5 已知a+b+c=3，求a2+b2+c2的最小值．

当且仅当a=b=c=1时等号成立．

所以，当a=b=c=1时，a2+b2+c2的最小值为3．

由上知，不等式中有一类题，可以利用“1”巧妙地转化，得到简洁的解法．在不等式证明和不等式求最值时，巧妙用“1”，会得到意想不到的效果．

4. “1”在积分中的应用

解将1用sin2x+cos2x来代换得

当函数是三角函数时，常对1进行代换，比如本题中把1改写成sin2x+cos2x=1．利用三角函数的平方关系，将“1”变形在不定积分中可以简化计算．有时用其它方法很难求积分，甚至积不出来.而“1”的变形有多种，变得合适可以达到简化计算的目的．

5. “1”在行列式中的应用

例7 计算n阶行列式

解当x≠a时，

当x=a时，Dn=0．

在线性代数中，有很多类似于此题的行列式．求解时，在行列式中多加一行或一列使行列式不变．比如在此题中加的边是第一行和第一列，第一列中除第一个数是1外其余都是0，第一行中除第一个数是1，其余是a，此时行列式是不变的．根据行列式的性质，把行列式化为上三角形或下三角形，再求行列式的值．

二、结束语

“1”是一个奇妙的数字，在解决不同的问题时需要进行不同的代换．灵活运用“1”的性质及与“1”相关的关系式，可以巧妙地解决问题．通过以上问题的分析，我们对“1”的应用有了一定的了解．但是数学中还有大量有关“1”的问题，等待大家去发现、研究．

参考文献：

[1]李毅.浅谈高中数学中“1”的妙用[J]. 中学生数理化(学研版), 2012(10):44.

[2]程鹏.“1”的代换在不等式问题中的应用[J]. 中学生数学:高中版, 2017(9):15-16.

[3]同济大学应用数学系. 高等数学(上册) (第七版)[M]. 北京：高等教育出版社, 2014.

[4]大连理工大学应用数学系. 线性代数[M].大连：大连理工大学出版社,2007.