连续性方程应用存在问题的研究

罗 若

（柳州铁道职业技术学院，广西 柳州 545007）

连续性方程是研究流体流经不同截面的通道时流速与通道截面积大小的关系，描述流体流速与截面关系的定理。说明了在同一流管内流体的流速和流经的截面积成反比，即截面积大的地方流速小，截面积小的地方流速大。连续性方程是流体运动学的基本方程，和液体静力学的帕斯卡原理是研究液压元件和液压基本回路工作原理的基础理论。

双作用单活塞杆液压缸（以下简称单杆缸）是液压传动中应用较广泛的执行元件，分别从无杆腔进油和有杆腔进油可实现往复运动。因无杆腔和有杆腔有效作用面积不同，所以往复运动的速度不一样，这样就免去减速装置且运动平稳，无传动间隙。这就是连续性方程在实践中的应用，但笔者在做单杆缸进油实验时，却得出了相反的结论。

1 物理模型

静压力方程：

连续性方程：

通过同心缝隙的流量：

式（1）中：p为液体的压力（Pa）；F 为液体表面的作用力（负载）（N）；A 为作用面积（m2）；式（2）中：q为液体的流量（m3/s）；v为液体的平均流速 (m/s)；A为通流截面面积；式（3）中：q为缝隙的泄漏量（m3）；d为活塞的直径（m）；h为缝隙的宽度（m）；μ 为油液的动力粘度（Pa·s）；l为活塞的长度（m）；△p为活塞两侧压力差（Pa）。

式（3）中的“±”确定：缸体相对于活塞的运动方向与压力差方向相同时取正值，相反时取负值。

2 实验条件

实验原理图如图1所示：当换向阀在左位时是无杆腔进油连接，在右位时是有杆腔进油连接。实验所使用的是湖南宇航科技有限公司生产的YCS-A型P蕴C控制的液压传动演示实验台，实验台的技术参数如下：

液压元件最大承受压力为1MPa，系统额定工作压力为0.8MPa，液压缸缸径28mm，活塞杆的直径16mm。

图1 实验原理图

3 实验结果

启动实验台，实验开始前先排完连接管和液压缸内的空气，并让活塞处于液压缸中间。分别给1YA、2YA通电，活塞分别向右、向左运动。以液压缸的行程为实验距离，分别测量活塞向左、向右运动的时间，实验数据记录如表1所示。

表1 单活塞杆液压缸进油实验记录

液压缸活塞运动到终点时，压力表的压力约为0.23～0.25MPa。

根据实验数据可以得出结论：

（1）无杆腔进油时活塞移动所需的压力小于有杆腔时进油所需的压力，即 p1＜p2。

（2）无杆腔进油时活塞移动的速度v1大于有杆腔进油时活塞移动的速度 v2，即 v1＞v2。

4 实验现象剖析

从实验数据得出的结论可以发现两个问题：

（1）液压缸左右运动时都是空载运动，根据帕斯卡原理，活塞启动后在运动过程中是不需要压力的。但实验中不仅需要压力且左右运动所需压力不一样。

（2）根据连续性方程式（2），供油量q相同（定量泵供油），液压缸无杆腔的面积A1大于有杆腔的面积A2，无杆腔进油时活塞移动的速度v1大于有杆腔进油时活塞移动的速度v2，即 v1＜v2。但实验结果是 v1＞v2。

在实验过程中，仔细检查了实验台周围及元件、接管的连接处，均无漏油现象。液压缸活塞运动时所需的压力均小于系统溢流阀调定的压力，说明活塞运动时无溢流损失。不考虑回路和元件的功耗损失，实验中液压缸的进油压力和进油量分别等于泵的输出压力和排量，其中泵的排量是定值。

那么为什么会产生与连续性方程相悖的现象，经分析，主要原因有二：①摩擦的影响。单杆缸在运动过程中，液压缸虽然无外负载，但活塞与腔壁是存在摩擦的，要推动活塞运动，所需的推力F要不小于活塞与液压缸腔壁之间的摩擦力Ff，即F≥Ff。根据式（1），推力F靠缸内的液体压力p产生。由于活塞向左向右运动的摩擦力Ff是一样的，所以作用面积大，所需的压力就越小。无杆腔的作用面积A1大于有杆腔的作用面积A2，所以无杆腔进油所需的压力小于有杆腔进油所需的压力，即p1＜p2；于泄漏的影响。液压系统的泄漏可分为外泄漏和内泄漏。在实验中，由于无漏油现象，溢流阀也是关闭的，因此可以忽略外泄漏的影响。但液压缸活塞与缸体是相互运动，之间存在着间隙，所以无杆腔和有杆腔之间存在有内泄漏。

活塞与缸体之间的间隙可以看做是同心缝隙，因单杆缸活塞的运动方向与压力差方向相同，那么缸体相对于活塞的运动方向与压力差方向相反，式（3）中的“±”取负值。

无杆腔进油时，将实验结果p1、v1代入式（3），可算得无杆腔泄漏到有杆腔的油量为△q1：

有杆腔进油时，将实验结果p2、v2代入式（3），可算得有杆腔泄漏到无杆腔的油量为△q2：

比较△q1和△q2，△p1=p1＜△p2=p2，v1＞v2，其它要素相同，所以△q1＜和△q2。即无杆腔进油时的内泄漏量小于有杆腔进油时的内泄漏量。

无杆腔进油时，参与推动活塞运动的实际流量q1=q-△q1；有杆腔进油时，参与推动活塞运动的实际流量q2=q-△q2，q1＞q2。因此得出结论：由于内泄漏的影响，无杆腔进油时参与作功的实际流量q1大于有杆腔进油时参与作功的实际流量q2，此时流量是影响流速的主要因素，所以活塞移动的速度v1＞v2。这个结论也是符合连续性方程的。

5 结语

经典流体力学中所有的方程都有一个默认的前提，那就是连续性的假设。尝试用经典流体力学方程解读微观机理的行为是不可行的，但可以从微观出发，解读宏观现象，然而还是不能在经典力学里寻求答案。因此在实践应用中，要综合考虑客观因素的影响，才能对客观现象做出合理中肯的解释。

［1］ 白柳，于军.液压与气压传动［M］.北京：机械工业出版社，2017.