超高层建筑地震加速度反演分析

王 杰

(武汉理工大学土木工程与建筑学院，武汉 430070)

利用结构地震响应来识别荷载是研究地震加速度的一种常用的反分析方法。对于一般的多层建筑，Toki K[1]提出了一种基于卡尔曼滤波理论识别地震波的方法，通过对三层框架的数值计算，根据三个楼层的动力响应，结合卡尔曼滤波理论，识别出了各层的地震加速度。尚久铨[2]提出了三种基于卡尔曼滤波理论的地震波反演及参数识别的方法，分别是利用最小二乘获得最优解的卡尔曼滤波、利用最小方差准则下的一系列线性滤波方法扩展卡尔曼滤波、通过缩减状态向量中的位移和速度的缩减变量卡尔曼滤波。李杰和陈隽[3]提出将地震作用的力学性质经过统计平均后作为估计的修正条件，解决了由于参数未知识别出各层地震波不等的问题，实现了地震波和结构参数的复合反演。上述反分析方法都是建立在输入完整的楼层响应基础上，而对于超高层建筑来说，一般很难得到全部的输入信息，因此在不完整输入下的反演成为了识别超高层建筑地震加速度的一类关键问题。对于输入不完整的研究，李杰和陈隽[4]提出了一种基于统计平均和最小二乘法得到在部分输入下子结构地震加速度的方法。王晓燕[5]等人在李杰等人提出的统计平均基础上，结合扩展的卡尔曼滤波理论，利用部分楼层测量信息识别出了结构参数以及未测量层的地震加速度。

该文基于卡尔曼滤波理论及统计平均方法提出一种超高层建筑地震加速度的反分析方法。并结合数值计算以及现场实测数据验证该方法的准确性和适用性。

1 地震加速度识别方法

n个自由度的结构地震作用下动力微分方程

(1)

(2)

(3)

(4)

由于结构的特征向量满足正交条件，将振型矩阵Φn×n按质量规准化，得到

(5)

式中,Φi、ωi、mi、ki、ξi分别为第i阶按质量规准化的振型向量、自振频率、模态质量、模态刚度、模态阻尼比。则式(1)可解耦为

(6)

将式(6)转换为状态空间形式：令

(7)

(8)

观测值为加速度时

(9)

观测值为速度时

(10)

观测值为位移时

Zi(t)=h(Xi,fi)=Ui=HiXi(t)+εi

(11)

Zi(t)是对连续时间系统的观测向量，εi为测量噪声矩阵，系统矩阵Hi和Di的确定因观测向量的类型而不同，其值如表1所示。

表1 系统矩阵

对方程(8)、(9)进行离散化，时间步长取为Δt，同时考虑过程噪声和观测噪声对系统方程的影响，则方程可改写为

Xi(k+1)=ΨiXi(k)+Γifi(k)

(12)

Zi(k)=HiXi(k)+Difi(k)+εi(k)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Pi(k)=[I-Gi(k)Hi]Pi(k/(k-1))

(19)

式中,Gi(k)是卡尔曼滤波增益矩阵，Pi(k)是滤波误差协方差矩阵，Ji(k)是基于基本的卡尔曼滤波推导过程中产生的系数矩阵。

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

因此、为了得到最优的结果，选择合适的楼层进行统计平均，该文选取15th层到76th层的反演结果。式(23)给出了各层地震波的估计值，进行统计平均后的地震加速度如下

(25)

2 数值算例

2.1 工程简介

该文根据台北101大楼的结构设计图建立了三维有限元数学模型，目的是通过构造结构模型得到结构的参数。该模型采用了梁板建模方式，对结构主体采用十二节点的空间梁单元和四节点弹性板单元，局部钢支撑采用三维杆单元，对楼层集中质量点则采用三维质量单元进行模拟。结构阻尼矩阵采用瑞雷阻尼模型。由于大楼顶部装有1个660 t大型TMD(调质阻尼器)和2个小型TMD(塔尖部分)，因此将前两阶阻尼比均取为5%。

2.2 地震加速度反演

利用有限元模型，结合已知的地震波，根据结构动力学的正分析方法，即可求得地震作用下结构的位移、速度及加速度响应，这些结果将作为地震波反演分析时的输入响应。其中，结构的质量矩阵和刚度矩阵通过有限元计算确定。根据高层结构规范[7]，采用瑞雷阻尼模型，即可求得阻尼矩阵。论文研究的超高层建筑在EL-Centro波作用下以前9阶模态为主。通过增加实测楼层的数目，使其大于或等于结构的主要控制模态数，可以减少估计模态响应与准确模态响应之间的误差。因此，该文选取实测响应的楼层数目为9个，选取20，30，39，53，60，69，78，89，101层为实测响应楼层。

图1为结构X向反演EL-Centro波时程、功率谱和相关图。由时程图可知：反演地震波与准确地震波吻合的非常好。尤其是经过统计平均后的地震波，二者几乎完全重合。由功率谱图可知：加速度反演地震波的功率谱与准确谱不管是高频段还是低频段，二者吻合得相当好，且谱的变化趋势也基本相同，反演结果相对可靠。位移反演地震波功率谱与准确谱在低频段和中高频段吻合非常好，在较高频段位移反演地震波的功率谱偏低，但谱的变化趋势基本相同，反演结果比较可靠。由相关图可知，准确值与经过统计平均后的反演值相关性极高，位移反演值和加速度反演值都超过了0.98。

表1 DKF反演EL-Centro波的根方差误差

楼层准确值/(m·s-2)位移反演反演值/(m·s-2)误差/%加速度反演 反演值/(m·s-2)误差/%100.0610.037-39.30.037 7-38.4200.0610.06811.90.069 714.2500.0610.065 87.90.067 911.2800.0610.835>1000.820>100900.0614.2>1004.24>100统计平均0.0610.057 7-5.30.058 6-3.8

由表1可知：输入位移响应的反演值和输入加速度响应的反演值与准确值的根方差误差在各代表层各不相同，且顶部代表层根方差误差较大。但进过统计平均后，输入位移响应的反演值根方差误差为5.3%，输入加速度响应的反演值根方差误差不到4%，反演结果相对准确。

综上所述，输入位移响应和输入加速度响应都能准确的识别出地震加速度，输入加速度反演的结果略优于输入位移反演的结果，统计平均法在一定程度上提高了反演精度。

3 结 语

该文基于卡尔曼滤波理论及统计平均法提出一种超高层建筑地震加速度反分析方法，该方法利用部分楼层的地震响应实时识别地震加速度。利用台北101大楼数值分析验证该方法的准确性，利用部分楼层统计平均来提高反演精度。

[1] Toki K,Sato T,Kiyono J.Identification of Structural Parameters and input Ground Motion from Response Time Histories[J].Doboku Gakkai Ronbunshu,1989(410):243-251.

[2] 尚久铨.卡尔曼滤波法在结构动态参数估计中的应用[J].地震工程与工程振动,1991,11(2):62-72.

[3] 李 杰,陈 隽.未知输入条件下的结构物理参数识别研究[J].计算力学学报,1999,16(1):32-40.

[4] 李 杰,陈 隽.子结构物理参数识别与输入地震动的复合反演研究[J].振动与冲击,1998(1):58-62.

[5] 王晓燕,黄维平,李华军.地震动反演及结构参数识别的EKF算法[J].工程力学,2005,22(4):20-23.

[6] 付梦印,邓志红,张继伟.Kalman 滤波理论及其在导航系统中的应用[M].北京：科学出版社,2003.

[7] 中华人民共和国住房和城乡建设部.JGJ 3—2010.高层建筑混凝土结构技术规程[S].北京：中国建筑工业出版，2010.