考虑含间隙与润滑平面机构的简化算法*

李贞靖 姚文莉 宋克伟

(青岛理工大学理学院,青岛 266000)

引言

对机械系统而言,间隙的存在往往是不可避免的,由于生产加工的精度可以产生间隙,机构在长时间工作中的磨损现象也会产生间隙,并且在设计机械系统时,为了保证机构的正常运动,防止机构出现卡死现象,也会刻意地在构件之间引入合理的间隙.但是,间隙的存在会降低机构的运动精度与稳定性,特别是间隙所带来碰撞力,会使得机构发生机械振动,加重运动副元素之间的磨损现象.为了降低间隙对机构的影响,通常会在构件之间加入润滑液,润滑液的存在会使轴套与轴径相互分离,减少构件之间的相互碰撞与弹性变形,减低噪音.但是,分析含润滑的机构的动力学特性比较复杂,需要把多体系统动力学与流体动力学结合起来,还需要求解非线性动力学微分方程组.

王国庆等人讨论了边界润滑对运动副的影响,在考虑边界润滑条件下,基于非线性弹簧阻尼模型建立了一种接触摩擦模型,并进一步得到间隙机构中运动副表面的磨损计算公式[1].师平基于含间隙的曲柄滑块机构,分别建立了干摩擦动力学模型与含润滑的动力学模型,系统地讨论了不同的间隙模型对机构动力学的影响,其结果表明含润滑的机构动力学特性更接近于理想的模型[2].国外学者Flores对含润滑的间隙机构进行了大量的研究,对模型的建立和动力学特性的分析等都做了比较系统的研究[3,4].王旭鹏等人建立了一种过渡力模型,在考虑油膜润滑的情况下,该模型同时适用于长轴与短轴两种不同的工况[9].在采用简化算法求解间隙碰撞力方面,张劲夫等人建立了一种求解曲柄滑块机构间隙反力的简单算法[5];陈渭提出一种求解曲柄滑块机构间隙副反力的静态间隙杆简化算法[6].这两种算法都是基于无质量杆模型,并且通过简化间隙角来简化计算.

以含关节润滑间隙曲柄滑块机构为例,本文就如何简单、高效的求解含润滑间隙旋转铰机构的动态特性,提出了一种新的思路.含间隙模型与理想模型得到的位移参数并没有什么差别,这已经被多位学者证明,意味可以用理想模型的位移参数代替含间隙机构的位移参数,求出间隙处的间隙矢量的大小以及其与X轴的夹角,把求出的这些运动学参数带入雷诺方程,就可以求出间隙处的流体压力,进一步把间隙力以主动力的形式带入动力学方程,得到机构的相应动态特性.根据本文的思路建立Simulink仿真模型,进一步验证该方法的可行性与正确性.

1 力学模型

1.1 雷诺方程

对润滑模型而言,关节间隙处的流体压力可以通过雷诺方程来求解,该公式可以表示为[2]:

(1)

其中,U为运动副元素之间的相对切向速度；h和μ1代表了润滑液的特性,分别表示润滑液的厚度与绝对黏度；p为产生的流体压力,X与Z为运动副的法向与切向.

对于雷诺方程的求解需要大量数值计算,为了简化计算,通常会把模型分为两类,无限长模型与无限短模型[3].当旋转铰的长度大于其半径的2倍时,可以把模型看成是无限长模型,这时可以忽略在运动过程中润滑液在Z方向上的泄露,并且在受力分析时,只需要研究其中点的受力情况.这时的雷诺方程可以简化为:

(2)

对公式(2)积分,便可以得到流体压力,可用公式(3)表示:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

其中k表示为:

(8)

1.2 运动学方程

通过对比分析曲柄滑块机构在理想与含间隙的位移曲线,如图1所示.可以看到间隙对滑块的位移影响很小,同样,白争锋[8]研究发现间隙对角位移几乎没有影响.所以在对含间隙曲柄滑块机构进行运动学分析时,可以利用理想的滑块位移与角位移来表示非理想机构的运动特性,从而达到简化计算的目的.

图1 理想与含间隙的位移时间曲线Fig.1 Displacement time curve with ideal and clearance

理想的曲柄滑块机构的矢量模型如图2所示,把矢量模型向X轴与Y轴投影,便可以得到两个几何约束方程:

(9)

对这两个方程求导便可以得到速度约束方程:

图2 理想矢量模型Fig.2 Ideal vector model

(10)

含间隙曲柄滑块机构的矢量模型如图3所示,这里用r3和θ3来表示滑块与连杆之间的间隙.通过将矢量模型向X轴方向与Y轴方向投影,得到两个几何约束方程:

(11)

图3 含间隙矢量模型Fig.3 Clearance vector model

对这两个方程求导,便可以得到速度约束方程:

(12)

进一步写成矩阵的形式:

(13)

1.3 动力学分析

采用牛顿欧拉法建立动力学方程,各机构的受力分布图如图4所示.

图4 各机构受力模型Fig.4 Force model of mechanisms

曲柄受力分析:

对连杆受力分析:

对滑块受力分析:

其中,各杆件的质心加速度可以表示为:

通过求解上述方程,便可以得到滑块加速度,经过积分得到滑块的速度与位移.通过该简化算法求出曲柄滑块机构的动力学特性,并与理想模型和干摩擦模型进行对比分析,来验证该方法的可行性.

2 建立算法流程与SIMULINK仿真模型

2.1 算法流程

2.2 建立Simulink仿真模型

Simulink是基于MATLAB的一种仿真工具,具有强大的计算能力,可以利用用户自定义模块调用编写的m文件,并且通过连线顺序决定运算的顺序,本文便是基于Simulink来计算力学模型.仿真模型图如6所示.

该仿真模型从左往右一共包含了五个Function函数模块,Function函数通过调用编写的m文件,以及通过连线提供给它的输入与输出值,便可以计算文中所提到的公式,其中每一个Function模块的内容如下:

图5 算法流程图Fig.5 Algorithm flow

图6 仿真模型图Fig.6 Simulation model

(3)模块3与模块4可以合并为一个模块,模块3主要是计算参数k,为计算模块4(雷诺方程)做准备,模块4的输入为求出的间隙处参数和参数k,调用的m函数为编写的雷诺方程函数,输出为流体压力Fr和Ft.该模块对应了算法流程的第三步,即把间隙处的运动参数带入雷诺方程,求出考虑润滑条件下的法向力与切向力.

(4)模块5也是最复杂的模块,其目的是把求出的流体压力Fr和Ft带入到动力学方程中,通过求解动力学模型来验证该方法的可行性.

2.3 结果对比分析

根据Simulink建立的仿真模型,按照本文建立的简易算法求得的含润滑的间隙反力,如图7所示；干摩擦模型得到的间隙反力,如图8所示.

图7 本文得到的间隙力Fig.7 The clearance force of this paper

图8 干摩擦得到的间隙力Fig.8 The clearance force of dry friction

对比图7与图8可知,本模型与理想模型的间隙反力十分接近,并且与干摩擦模型相比,得到的数据并没有太多的波动.因此,本文的方法可以用来预测间隙处的碰撞力.

通过动力学分析得到动力学特性,以曲柄滑块机构的加速度为例,来验证该方法的正确性,润滑模型与理想模型得到连杆角加速度,如图9所示；干摩擦与理想模型得到的连杆角加速度,如图10所示.润滑模型与理想模型得到的滑块加速度,如图11所示；干摩擦模型与理想模型得到的滑块加速度,如图12所示.通过仿真数据的对比可知,基于本文的简易算法求解的润滑模型,更接近于理想模型,能够明显地抑制机构的振动.其结果与师平[2]和王旭鹏[9]等人得到的结论一致,说明了本文建立的简易算法模型的正确性与可行性.

图9 润滑模型的连杆角加速度Fig.9 Link angular acceleration of lubrication model

图10 干摩擦模型的连杆角加速度Fig.10 Link angular acceleration of dry friction model

3 结语

本文提供了一种新的求解含间隙润滑机构动态特性的简易算法,并以曲柄滑块机构为例,验证了该方法的正确性.本文的思路是首先求解理想曲柄滑块机构的运动学方程,其次求解含关节间隙的曲柄滑块机构的运动学方程,接下来把得到的运动参数带入雷诺方程求出间隙处的流体压力,最后把间隙力作为主动力求解动力学方程,得到机构的动态特性.该方法采用新的简化算法提前预测出间隙力,间隙力就可以作为主动力去求解机构的动态特性,从而达到简化计算的目的.Simulink的仿真结果表明,相比于干摩擦模型,本文建立的润滑模型能明显地抑制机构的振动,其动力学特性更接近于理想情况,说明了该简化算法的正确性.

图11 润滑模型滑块加速度Fig.11 Slider acceleration of lubrication model

图12 干摩擦模型滑块加速度Fig.12 Slider acceleration of dry friction model

1王国庆,刘宏昭,孙百俊. 考虑边界润滑的间隙机构运动副接触磨损. 长安大学学报, 2002,22(6):85～88 (Wang G Q, Liu H Z, Sun B J. Contact wear of four-bar planar linkage with clearance joint under boundary lubrication.JournalofChanganUniversity, 2002,22(6):85～88 (in Chinese))

2师平,白亚琼. 考虑关节润滑的平面机械系统动力学分析. 机械传动, 2015,39(7):141～145 (Shi P, Bai Y Q. Dynamics analysis for planar mechanical system with joint lubricated.JournalofMechanicalTransmission, 2015,39(7):141～145 (in Chinese))

3Flores P, Ambrósio J, Claro J C P, et al. A study on dynamics of mechanical systems including joints with clearance and lubrication.MechanismandMachineTheory, 2006,41(3):247～261

4Flores P, Ambrósio J, Claro J P. Dynamic analysis for planar multi-body mechanical systems with lubricated joints.MultibodySystemDynamics, 2004,12(1):47～74

5张劲夫,许庆余,张陵. 曲柄滑块机构间隙反力的算法及其应用. 应用力学报, 2001,18(4):93～97 (Zhang J F, Xu Q Y, Zhang L. The algorithm for the clearance joint reaction force of slider-crank mechanism and its application.ChineseJournalofAppliedMechanics, 2001,18(4):93～97 (in Chinese))

6陈渭,于如飞,李培. 曲柄滑块机构间隙副反力的静态间隙杆简化算法. 北京理工大学学报, 2017,37(1):15～18 (Chen W, Yu R F, Li P. Stationary clearance link algorithm for solving the counter-force in the clearance revolute joint of crank slider system.JournalofBeijingInstituteofTechnology, 2017,37(1):15～18 (in Chinese))

7Pinkus O, Sternlicht B, Saibel E. Theory of Hydrodynamic Lubrication. New York:Mc Graw-Hill, 1961

8白争锋. 考虑铰间间隙的机构动力学特性研究[博士学位论文]. 哈尔滨:哈尔滨工业大学, 2011 (Bai Z F. Research on dynamic characteristics of mechanism with joint clearance[Ph.D thesis]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2011 (in Chinese))

9王旭鹏,刘更,马尚君等. 考虑油膜润滑时含间隙铰链机构的动态性能研究. 机械传动, 2016,40(9):1～5 (Wang X P, Liu G, Ma S G, et al. Study on the dynamic performance of joint mechanism with considering oil film lubrication clearance.JournalofMechanicalTransmission, 2016,40(9):1～5 (in Chinese))