以生为本，螺旋探究

常艳红

【摘要】对数学中的一些有深度的学习内容，紧扣“题源”，从学生的“最近发展区”出发，让学生目睹题目的“出生”，见证题目一步步“成长壮大”的过程，历经知识点的单调—生长—丰富—成熟的过程，紧跟学生的认知规律，修编“题谱”，挖掘题目成长的“空档期”，扫除学生盲点，突破思维难点，深化知識点之间的联系，螺旋式深化学习过程.

【关键词】生长点和延伸点；螺旋式深化学习；分层

新课程提倡注重过程，让学生亲身经历学习的认知过程，亲自去实践、去体验、去感悟数学知识的发生、发展过程.在教学的过程中，对一些有深度的学习内容，常常紧扣题目的“源头”，从“题源”，或从核心知识点出发，基于学生的个体差异和认知规律，从学生的“最近发展区”出发，让支干慢慢强壮起来，丰富起来，最后成熟了，把题目的出生，成长，成熟过程修编成一组“题谱”——把它们纵横两维度或多维度地通过类比、加工、改造、加强或减弱条件，以及延伸、扩展或组合来编拟新的试题，一系列简单的，有联系，一个问题比一个问题更深入的系列问题引导，从而让每一名学生都获得解题的体验，并能体会到成功的喜悦，提高教学的实效.

下面是在讲解2010年广州市中考题时的课堂简录：

题目 已知：如图1所示，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，求弦AB的长.

师：请你们加入一些新元素，再提出一些新问题，最后作答.

生1：连接OA，OB，在Rt△AOH中，由于OH=12OA，可求∠POA度数，也可求∠BOA度数.

生3：不用连接任何线段，可求出，求AP和AB度数.

生4：连接PA，PB，根据中垂线性质知OA=AP，可判断△APO是等边三角形.

生5：可以用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

生6：可求∠BPA度数是120°；还可判断四边形AOBP的是菱形.

师：我们巩固了平行四边形和菱形的证明方法，很好，我们再来观察图：当点P是AB劣弧上（与端点A，B不重合）的移动时，又会发生什么呢？

生1：根据圆周角定理，可知∠ADB=∠APB=120°.

师：以点P为圆心，PH长为半径作⊙P，分别过点A、B作⊙P的切线，两条切线相交于点C.请问：能求出∠C的度数吗？

生1：能根据角的关系判断△ABC是等边三角形.

生2：可求出三角形ABC的周长是33和面积是332；

师：能用什么方法求出△ABC的面积？

生1：△ABC是等边三角形，且AB=3，用底和高求得.

生2：还可用S△ABC=3S△APB=3×12×3×1=332求得.

师：求三角形的面积时，当遇到有内切圆时，要注意内切圆的特点，可以分割成三个部分去求和.

师：当点P是AB上（与端点A，B不重合）的移动时到点D时，DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C.若⊙D的半径DE为r，你能否用含r的代数式表示S△ABC？如何求S△ABC？

生1：连接CD，利用三角形内切圆的特点来求面积.

S△ABC=12S△ADB+12S△BDC+12S△ADC，

S△ABC=12×AB×r+12×BC×r+12×AC×r，

S△ABC=12r（AB+BC+AC）.

师：若知道AB+BC+AC的长即三角形的周长，是不是就可以求出面积了？

生1：三角形的面积与其内切圆半径和三角形的周长是有一定的关系的.

师：若知道三角形的面积，能求出周长吗？例如，记△ABC的面积为S，若SDE2=43，求△ABC的周长.

生：能，因为SDE2=43S=43r2，所以12r×周长=43r2，即周长=83r.

师：内切圆除了涉及角，还涉及边吗？

生：根据切线长定理知AN+BM=3，根据直角三角形的边关系可知CN=CM=3r，

所以△ABC的周长=2（AE+EB）+2CN=23+23r，

所以=2（AE+EB）+2CN=23+23r=83r，

解得r=13.

最后根据课堂简录，把题目的“出生”—“成长”—“丰富”—“成熟”的过程汇编成一个“题谱”，记录着“题”的每一次成长和进步，也记录着学生们思维的轨迹，及时发现他们思维的盲点，在恰当的时候及时给予学生引导.以下几点是在教学实践过程中的切身体会.

一、关注生长点和延伸点，螺旋上升深化联系

学习知其然更要知其所以然.在本节的课堂简录中，垂径定理是它的生长点，巧妙地利用圆周角性质，把定点P变为动点，把特殊点转化成一般点，这种迁移思想的引进，深化知识点之间的联系，看似解决了问题，却又暴露了另一个问题，三角形的周长与内切圆的半径关系，如何把这个问题解决是本题解决的关键.剪去多余的分支，只剩下三角形与它的内切圆，利用切线长定理找出三角形周长与内切圆半径的关系，利用矛盾关系引出本题的另一个生长点，皮亚杰的理论认为儿童认知结构的发展是一个连续构造的过程，每一个阶段都是前一阶段的延伸，而本题的“最终命题”就是把两个原生态的生长点及延伸点恰当地利用同弧所对的圆周角相等，把“定”变“动”，由“特殊性”变“一般性”，深化知识之间的联系.平时的训练过程中，关注知识点的生成点、嫁接点及交汇点，让学生目睹题目“出生”时的单调到“蒂落”（多个知识点的适度交汇融合）时的成熟整个成长的过程，体会在成长的过程中，知识点或纵，或横多角度的在生长点处嫁接，延伸，拓展的演变和同化的过程，遵循螺旋上升的认知规律，深化知识点之间的联系.

二、以“易”见“繁”需合理，适度加新元素深度学习

“孔子登东山而小鲁，登泰山而小天下”，学生所有知识的高度不同，他所看问题的角度就不同，当学生所猎取的知识点越多，他心中的“整体”就越大，知识越丰富，想问题就越全面.对中考中有深度的题目所涉及的知识点高度融合，综合性强，它需要经过教师对题目的深入研究、挖掘和深层次的思考、拓展、归纳，再根据学生课堂思维过程汇编“题谱”，它们每一题都是一个完整的个体，每个完整的个体增删一些知识点就又成了一个新的个体，最后的题是前面几题慢慢“发酵长大”的结果.学生从心里懂得了再难的题目都是由简单题目“堆积”而成，认识到只要平时认真观察，及时总结，不再被动地、零散地接受知识，学习把“碎片化”的知识合理地“加减”“融和”“转移”“打包”，引线搭桥，深入转化，对知识的理解也能全面，整体.知识点由“细”到“粗”，由“简单”到“复杂”，由“个体”到“整体”，再到一系列“题谱”，闻一而知十，见“树”的众而知“林”的阔，凸显数学知识的整体性.

三、设计问题有区分度，懂得“得寸”才能“进尺”

义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性，普及性和发展性，使数学教育面向全体学生.数学教学活动只有建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上，才能有效地体验、探索、总结、提升、应用.依据维果斯基的“最近发展区理论”，结合学生的个体差异，从学生已有的经验出发，给他们提供了具有一定认知难度的学习梯度，起点低，一步一步引导学生，“得寸”才能“进尺”，步步为营.根据课堂简录所汇编的“题谱”，为他们“私人定制”符合他们理解和接受水平的知识内容，让他们根据自己的能力去选择解决自己想且自己能的问题，这在一定程度上可以最大限度地挖掘自身的内在潜能，每一名学生可以根据自己的不同“最近发展区”，且根据学生的认知差异，铺设和搭建学习的“脚手架”，螺旋渐进、深入学习，仿效“等门槛效应”——步步为营，借力使力，懂得“得寸”才能“进尺”的心理学，潜移默化，如春风润无声，在自然而然的姿态中解决了问题.G·波利亚在《怎么解题》中强調当学生需要帮助时，“教师应当谨慎地，不留痕迹地帮助学生”.课堂简录汇编的系列“题谱”，根据不同知识点的纵向延伸，和相同知识点的横向拓展，在纵横交错中螺旋式深入，最后达到融会贯通的境界.

在数学学习活动中，对数学中的一些有深度的学习内容，紧扣“题源”，从学生的“最近发展区”出发，让学生目睹题目的“出生”，见证题目一步步“成长壮大”的过程，历经知识点的单调—生长—丰富—成熟的过程，抓住题目“成长和壮大”的关键时期，紧跟学生的认知规律，修编“题谱”，挖掘题目成长的“空档期”，扫除学生盲点，突破思维难点，层层递进，深化知识点之间的联系，螺旋式深化学习过程.同时根据学生的差异性，进行分层学习，通过多次的教学实施，并反思实施过程中的优点，盲点与不足，从而让每一名学生都获得解题的体验，并能体会到成功的喜悦，提高教学的实效.