导数复习课教学片断及反思

摘要：由一道导数的作业题的不同解法讲评片断，发现学生学习的问题，引起对自身教学方法的思考，机械化的模式教学使得能力培养产生了障碍，面对不同的学生，都要切实学生的学，培养学生各方面的能力，以及提高学生面对困难的信心。

关键词：文科导数；引导；困难；能力培养

笔者今年执教于高中文科数学，基于对文科班数学基础较差的印象及自己的教学经验，在教学中，常常出现“这种题型常用的解法……”之类的教学方式，不小心容易以一成不变的模式将知识将强灌输给学生，为了完成“教学任务”课堂上预留给学生独立思考的时间较少，使得学生在学习过程中容易产生教条主义思想，学习上缺乏主动，产生依赖性，缺乏思想，缺乏个性，被动地学习，遇到困难“知难而退”。本文是笔者的一堂导数应用复习课的实录，通过此课例，笔者及时发现并尝试解决学生可能产生的学习上的问题。

导数是高中数学的重要内容，导数在函数里有广泛应用，高中文科对导数的主要要求是能用导数研究函数的单调性及最值问题，其中利用导数解决函数含参问题在高考中是较为常见的，所以解决导数含参问题是高中数学教学中一个很重要的环节。

课堂片断实录。

一、 从一道作业的几种不同解法谈起

笔者在此复习课之前给出了一道作业：

作业：已知函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8（a∈R）

1. 若f（x）的极大值为8，求a的取值。

2. 若f（x）在x∈（-∞，0）上为增函数，求a的取值范围。

统计第二步的解答情况，共得到以下两种做法：

解法一：

f′（x）=6x2-6（a+1）x+6ax

若函数f（x）在x∈（-∞，0）上为增函数，则f′（x）≥0在x∈（-∞，0）上恒成立

即x2-（a+1）x+a≥0恒成立，即a（x-1）≤x2-x

∵x<0∴x-1<0∴a≥x2-xx-1=x恒成立

∵x<0∴a≥0

解法二：

f′（x）=6x2-6（a+1）x+6ax

f′（x）=0解得x=1，或x=a

若a<1，f′（x）<0解得a

從而得函数在（-∞，a）和（1，+∞）单调递增，若函数f（x）在x∈（-∞，0）上为增函数，则只需0≤a<1

若若a<1，f′（x）<0解得1

从而得函数在（-∞，1）和（a，+∞）单调递增，则函数f（x）在x∈（-∞，0）上恒为增函数，若a=1，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在x∈（-∞，0）上恒为增函数，

综上a≥0

统计作业结果得知，其中有百分之八十的同学采用了第一种方法，有个别同学利用分离参数解题时，并没有注意判断x-1的符号，使得答案出错，而全班只有一位同学采用了解法二（此解法应该是建立在对第一步的讨论中得出），还有一位同学尝试用单调性的定义法去解题，当然并没有求出结果。

二、 提出问题

鉴于学生作业模式的统一化，笔者产生了一些疑问，此道作业正确率如此之高，但学生是否真正掌握含参问题的实质及解法？学生遇到含参问题是否只能想到分离参数构造函数？学生的思维方式是否已经受限？为了进一步了解及确定学生解题可能存在的问题，笔者在讲评作业之前给出了另一道题作为课堂练习：

练习：f（x）=lnx-mx+m<0对x∈（1，+∞）恒成立，求m的取值范围。

几乎所有学生的解法都如下：

lnx-mx+m<0对x∈（1，+∞）恒成立，则m（x-1）>lnx

∵x>1∴x-1>0∴m>lnxx-1构造函数令

g（x）=lnxx-1g′（x）=1-1x-lnx（x-1）2

部分学生做到这步，无法得知单调性便停止答题

由于前面有介绍过两次构造函数求导解决函数单调性的问题，有个别学生继续构造函数求导

令h（x）=1-1x-lnx，h′（x）=1x2-1x

由于x>1，可得h′（x）<0恒成立，所以有h（x）在（1，+∞）上单调递减。

从而有h（x）

但是同样遇到这样一个问题，函数在1处无意义，无法得出函数最值，那么这道题该如何进行下去呢（这里利用洛必达法则可得limx→1lnxx-1=1，从而解得a≥1，不过为高数内容，在此不作详述）？个别学生尝试分类讨论，也都没得到完整准确的答案。

三、 探究问题，共同反思。

笔者授课的对象是所在学校的高二文科班学生，数学基础较差，自主学习能力不高，虽然在前面几堂课中，笔者已详细讲授导数解决各种常见函数问题方法，但是学生还是不能很好地完成解答。

教师：为什么利用分离参数无法解出此题呢？

学生：在x=1处无意义，无法得出函数最值。

教师：那么有什么方法可以解出此题吗？

学生：……

教师：退一步来讲，为什么遇到含参问题，为什么你会想到分离参数呢？

学生：因为有参数就必须讨论。

教师：对，如果讨论，那么此题讨论的目的是？恒成问题处理方法的实质是什么还记得吗？

学生：实质就是转化为最值问题，也就是说要通过讨论得到函数的最值。

教师：那么为什么不尝试求f（x）的最值呢？

学生：讨论很难。

至此，笔者意识到学生解决不含参数的函数最值问题，问题不大，但当引入参数，提高门槛，学生就会紧张，解决问题容易避重就轻，逃避困难，思维定势，缺乏思考。

教师：高中数学里，分类讨论是一种重要的逻辑方法，但却是你们最头疼的一个问题，那么你们觉得困难在哪？

学生：有时想想好像会做，但不知如何入手。

教师：有时知道要分类，但好像没办法考虑得很全面。

学生：……

教师：那来看看能不能一起解决这些问题。有同学说说解题思路吗？

学生A：先求导，求极值点。

f′（x）=1x-m

f′（x）=0解得极值点x=1m

学生A：考虑定义域，m>0。

学生B：不一定要有极值点，若m≤0没有极值点，函数还是有意义，所以，需要讨论。

接下来，在自然熟悉的思路引导下，与学生共同得到了以下完整解法。

若m≤0，f′（x）>0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，

所以当x∈（1，+∞）时，f（x）>f（1）=0不成立。

若m>0，f′（x）=0解得极值点x=1m

∵f′（x）>0解得x>1m

∴f（x）在0，1m上单调递增，在1m，+∞上单调递减。

当01，则f（x）在（1，1m）上有f（x）>f（1）=0不成立

当m≥1，则在（1，+∞）上都有f（x）

综上：m≥1

教师：分类讨论解决数学问题关键是如何正确分类，解决导数中参数分类讨论的问题，往往从极值点出发，极值点是否会有意义，区间是否会包含极值点，极值点大小的比较等等，要确保分类的科学，不重不漏，确定完分类标准之后再进行讨论，最后进行归纳整理。

四、 一题多解，一题多变

教师：现在，我们一起来看看昨天的作業。

教师板书了解法一。并让学生C介绍解法二，表扬使用该生，鼓励学生敢于创新和思考。

教师：能否用恒成立的实质，分类讨论导数的最值的方法来解决此题呢？

学生B板书解法三：

即f′（x）=6x2-6（a+1）x+6ax≥0在（-∞，2）恒大于零

导数对称轴x=-a+12

当x>-1，即-a+12<0，则二次函数存在f′（x）min=f-a+12

当x≤-1，即-a+12≥0，则f′（x）>f（0）只需f（0）=a≥0

综上，a≥0

教师：恒成立问题是高中数学的一项重要内容，除了分离参数构造函数这个方法外，直接分类讨论函数的最值也是重要的方法之一。

介绍三种解题方式，旨在通过一题多解，使课堂变得更加精彩，而此题的一题多解更是从学生的学情角度出发，合理地给出，希望学生能从中找到解题的规律。

教师：若把此题的条件改成f（x）在x∈（-∞，2）上为增函数，求a的取值范围。此时利用解法二解法三都能顺利解题。

在此给出作业的变式，旨在更充分发挥作业的作用，本为一道简单的作业，适度的引申，合理的变式深化难度，为学生的思维训练提供契机。

教师：这节课后，你们对于解题有何感想？

学生C：解题的时候，经常都没有仔细考虑到题目设置的意图，总是想就着熟悉的方法解题，有时题目都没有看清楚。

学生D：做题时遇到困难会想逃避，缺少思考。

学生E：这节课重新复习了分类讨论的解题方法，好像对于要分类的题目没有那么害怕了。

本堂课例片断，笔者为了打破学生的定势的思维模式，引导学生回归恒成立问题的本质，即求最值问题，然后体会如何抓住所要面对的困难中的难点，学会一一攻破难点的能力。

本文是笔者由一道正确率颇高的作业的反思，及时的发现学生在学习过程中存在的问题和遇到的困难，并且看出了，在平时的教学中，笔者太过重视培养学生常规作法的解题思路，而忽视了学生对于问题本质的理解，能力培养才是教学的重任，应传授学生更多探究问题，分析问题的能力，扎实教学过程，解好每一道题，落实每一个解法，提供多角度训练情境，及时提高学生的应变能力。

并且，笔者认为，在数学教学过程中，无论是面对怎么样的学生，都要切实关注学生的学，要能够根据学生可能出现的切实的问题来确定教学的重点，在教学过程中，在学生遇到这样那样的挫折和失败时及时给予帮助和补救，鼓励学生勇于面对困难，培养解决困难的能力，确保自己不陷入模式机械化的教学。

教学的路还很长，教学的过程是累积经验的过程，教学过程中的反思更是一个让我们能够不断学习的不断进步的过程。

作者简介：李菲燕，福建省南安市，福建省南安国光中学。