地震动混沌特性判别及影响因素分析

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(1.福建工程学院 土木工程学院， 福建 福州 350118; 2.福建省土木工程新技术与信息化重点实验室， 福建 福州 350118)

地震动是一种典型的宽频带非平稳信号[1]，地震能量在时间与频率上表现出不均匀分布，其能量集中增加了结构的不安全和不稳定。并且由于地震动的传播介质具有非线性特性，使得原本复杂的地震动表现出更加强烈的非线性特征，从而增大了结构工作状态的研究难度。

关于地震动的非平稳特性，Housner[2]率先提出地震动是一随机过程，描述地震动随机特性的模型有白噪声模型、过滤噪声模型及简谐波等模型[3]。然而，通过地震动的功率谱或Hilbert谱，却明显地发现，地震动的频谱与高斯白噪声的频谱有很大的差异[4]，这表明地震动除具有随机性外，还应具有一些隐藏在它表面无序下的其他规律。20世纪60年代兴起的混沌理论为地震动提供了新的研究思路。混沌理论是一种国内外公认的理想研究方法，它已被广泛应用于气象学和物理学等许多领域。本文将基于混沌理论，对地震动的混沌特性展开定量与定性分析，探讨地震动各要素对其混沌特性的影响，为后续结构失效机理的研究奠定理论基础。

1 混沌系统的基本特征

1975年Li和Yorke在文章《周期3意味着混沌》中首次用数学语言定义了混沌[4]，而在动力系统中，混沌是非线性的确定性系统表现出来的随机行为的总称[5]。混沌系统具有以下基本特征[6]：

(1)对于系统的初始条件具有敏感性。一个确定系统初始值的微小改变在一定的时间内会演化出与初始值非常大的差值，Lyapunov指数是衡量敏感依赖于初始值这一特性的指标。

(2)混沌是一种由确定性系统产生的伪随机运动。表面上看是杂乱无章，但通过一定的研究方法将发现其背后存在着一定的规律和秩序，即混沌运动是有序与无序的对立统一。

(3)混沌具有自相似性及分形特性。系统某一变量的运动轨迹在时域上表现出具有自相似性的层次结构，混沌吸引子可反映这一特征，如图1所示。

图1 Duffing系统吸引子Fig.1 Duffing system attractor

基于混沌理论的分析方法研究地震动的可行性有以下几点:

(1)混沌系统属于非线性动力系统，它的运动轨迹是长期不可确定的，地震动的发生及其对结构产生的影响也是不可预测的；

(2)混沌系统产生的信号是一种由确定性系统产生的伪随机运动。混沌系统在功率谱上表现出的特征与随机运动不同，它的频谱带宽较大，呈现出“尖峰肥尾”的特征，而随机运动的功率谱在整个频带上分布均匀。

(3)地震动及其结构响应本身是一种时间序列，混沌时间序列分析方法的引入可拓宽其研究视野。

2 混沌特性的判别

混沌蕴含在非线性动力系统中，为了准确判断其动力特性，系统混沌特性的判别通常采用定性与定量两种方法[7]。

2.1 混沌识别的定性指标

功率谱分析法、主成分分析法、改进的FNN[4]法都在一定程度上能够区分随机运动和混沌运动。由于主成分分析法计算量小，识别效率高，本文采用该方法对目标进行了分析。

主成分分析法首先是通过对一已知时间序列{x(1),x(2),…,x(n)}进行相空间重构(其中延迟时间为l、嵌入维数为m的)，得到轨线矩阵Xl×m(l=n-(m-1))，然后计算协方差矩阵C为：

(1)

并计算其特征值ηi(i=1,2,…,m)，(其中η1≥η2≥…≥ηm)，最后对特征值求和：

(2)

以嵌入维数m为x轴，ln(ηi/γ)为y轴作图，即为主成分谱图。由于噪声信号在不同的嵌入维数下特征值变化很小，在图上就显示出一条近乎平行于因变量的直线，如图2所示，其斜率近乎为0。

图2 噪声序列的主成分谱图Fig.2 Principal components of the noise series

混沌信号在不同的嵌入维数下吸引子的展开程度不同，特征值变化很大，在图上表现出一条斜率为负的直线。图3为经典的非线性系统Duffing 系统的主成分谱，其斜率k=-0.3。

图3 Duffing 系统的时间序列主成分谱图Fig.3 Principal components of Duffing system’s time series

2.2 混沌识别的定量指标

关联维数D、Kolmogorov熵及Lyapunov指数等定量指标是基于混沌时间序列的分析方法对混沌信号进行计算得到的参数，通过这些参数可评价混沌是否存在及混沌程度(紊乱程度的大小)。

(1)关联维数D

关联维数是判断系统是否存在混沌的指标，它描述了混沌吸引子的维数，通过对时间序列的相空间重构，计算关联积分，并利用G-P算法确定关联维数[13]。

(3)

其中，r为一很小的正数；Cn(r)为关联积分；DGP为关联维数。

混沌系统的关联维数是一个分数，并且会随着嵌入维数的增大而趋于饱和，随机系统则不会出现饱和，因此关联维数的饱和趋势能够区分两者的差异。

(2)Lyapunov指数

Lyapunov指数可以定量的刻画初始相邻两条轨道随时间分离的敏感度。若非线性系统的Lyapunov指数λ>0，表明该系统处于混沌状态，本文采用小数据量法[9]计算最大Lyapunov指数。

(3)Kolmogorov熵

Kolmogorov熵是度量某动力系统无序程度的指标，混沌系统的K熵是大于零的有限值[8]，并且K熵值越大，表明系统的无序程度越高，非线性特征越显著。Kolmogorov熵同样可以通过G-P算法得到[10]。

3 地震动的混沌特性判别

本文选用1952年7月21日发生在美国加州的地震动Taft波(如图4)进行混沌特性分析。该信号记录54 s，时间步长为0.02 s。

图4 Taft波时程曲线Fig.4 Time history curve of Taft waves

3.1 混沌定性指标分析

采用主成分分析法绘制主成分量与嵌入维数的关系曲线。如图5，该直线斜率k=-0.1，从而判断Taft波具有混沌特性。

图5 Taft波的主成分谱图Fig.5 Principal components of Taft waves

3.2 混沌定量指标分析

采用混沌时间序列分析方法对Taft波进行非线性特征参数计算，结果如表1所示。该地震波的关联维数D为0.715 7，是一个分数，K2熵为0.127，最大Lyapunov指数λ为0.458，表明Taft波加速度时程存在混沌特性。

以上分析可知，无论从混沌的定性还是定量指标判别，地震动都具有混沌特性。

4 地震动混沌特性影响因素分析

地震动包含持时、频谱、最大峰值[1]3要素。下文将分析此3要素及采样频率对地震波的混沌特性的影响。

4.1 持时的影响

截取Taft波的部分记录进行分析。为避免截取的部分“失真”，计算的持时部分不小于30 s且涵盖地震动的最大峰值。表1是Taft波在30～54 s区间内不同持时下混沌特征参数的计算值。

表1Taft波的持时对混沌特性的影响

Tab.1TheeffectsofdurationofTaftwavesonthechaoticcharacteristics

持时/s关联维数DK2熵λ301.795 70.465 70.465 0351.550 30.371 80.465 1401.238 60.285 20.433 1451.005 30.202 50.443 0460.964 10.194 20.436 4470.925 40.181 80.447 8480.889 30.172 20.438 8490.857 50.162 50.456 6500.828 70.153 80.475 4510.800 80.147 30.469 1520.773 90.141 10.469 8530.748 30.134 90.463 9540.715 70.127 00.458 0

本文还选取了频谱特性、最大峰值相近下的CPC_TOPANGA CANYON_16_nor波、PEL_HOLLYWOOD STORAGE_90波和TRI_TREASURE ISLAND_90波等3条波，分析它们的持时变化对地震动混沌特性的影响，绘制了K2熵与持时的曲线，如图6所示。

图6 三条地震波的K2熵与持时的关系曲线Fig.6 Curves of the relationship between K2 entropy and duration of three ground motion waves

表1和图6显示：持时越长，K2熵值越小，且在35 s后趋于稳定。这表明，持时对混沌程度具有较大的影响，所选取的持时越短，K2熵越大，混沌的复杂程度越集中，反而高估了地震动的非线性程度。因此在时程分析选波时可选择K2熵趋于稳定的持时，从而既保证混沌程度的真实性，又可节约计算容量和时长。

4.2 频谱的影响

不同地震动的频谱特性差异较大，选取近场地震动H_H-EMO000波(记为1号波)、TCU073波(记为2号波)和远场地震动TCU110波(记为3号波)、TCU115波(记为4号波)，近场地震动截取它们的0～40 s的记录部分，远场地震动截取它们的20～60 s的记录部分，同时将它们的最大峰值统一调为200 gal，分析3条波的频谱特性及对混沌特性的影响。

HHT变换能够有效的对地震动的频谱特性进行分析[11]，因此，对上述4条经过处理的地震波分别进行HHT变换，得到的Hilbert能量谱如图7～10。从能量谱中可知，1号波的特征频率为2 Hz，2号波的特征频率为5 Hz，3号波的特征频率为0.9 Hz，4号波的特征频率为0.7 Hz。

图7 H_H-EMO000波的Hilbert能量谱Fig.7 The energy spectrum of the H_H-EMO000 waves

图8 TCU073波的Hilbert能量谱Fig.8 The energy spectrum of the TCU073 waves

图9 TCU110波的Hilbert能量谱Fig.9 The energy spectrum of the TCU110 waves

图10 TCU115波的Hilbert能量谱Fig.10 The energy spectrum of the TCU115 waves

Tab.2SpectralcharacteristicsandK2entropyofgroundmotion

地震动特征频率/HzK2熵1号波2.00.147 52号波5.00.129 93号波0.92.316 44号波0.71.691 2

对上述4条经过处理的地震波分别进行混沌时间序列分析，计算它们的指标K2熵，结果(见表2)表明：近场地震动的特征频率比远场地震动的特征频率大，而相应的K2熵值却较小，说明远场地震动的非线性特征比近场地震动的更强。

4.3 最大幅值的影响

根据《建筑抗震设计规范》[12]规定，设防烈度为7度的地区加速度时程最大值为35 gal(多遇地震)和220 gal(罕遇地震)，为分析地震动最大幅值对混沌特性的影响，将Taft波分别进行上述调幅，并对其进行混沌特性分析，计算结果如表3所示。

表3调幅后Taft波的非线性特征参数

Tab.3NonlinearcharacteristicparametersofTaftwavesafteramplitudemodulation

调幅后的峰值加速度/gal关联维数DK2熵λ350.715 70.127 00.458 02200.715 70.127 00.458 0

由表3可知，对同一条地震波进行调幅，其混沌特征参数完全没有变化，说明幅值的调整对地震动的混沌特性不会产生影响。

4.4 采样频率的影响

以CHY029波为例，分析采样频率对混沌特征的影响。CHY029波初始记录的采样频率为100 Hz，分别选取采样频率为50、25 Hz进行混沌参数分析，持时部分为0～40 s，选波满足最大峰值的要求，加速度最大幅值均为200 gal。计算结果如表4所示。

表4CHY029波的非线性特征参数

Tab.4NonlinearcharacteristicparametersoftheCHY029waves

采样频率/Hz关联维数DK2熵λ1000.596 10.213 31.760 1500.727 90.165 10.564 3250.854 30.108 60.201 3

由表4可知，在地震动3要素相同的情况下，采样频率会对混沌特征参数产生影响，且地震动的采样频率越大，混沌特征参数的K2熵也越大，地震动的非线性程度越接近真实值。

5 结论

1)地震动的持时越短，K2熵越大；持时越长K2熵越趋于稳定，选取K2值趋于稳定的持时，可提高计算效率的同时又能保证混沌程度的真实性；

2)远场地震动的特征频率比近场地震动的特征频率更小，而K2熵值更大，远场地震动的非线性程度更强；

3)地震动的幅值调整对混沌定量指标没有影响；

4)在地震动持时、频谱特性、最大幅值相同的情况下，采样频率越大，地震动的混沌混沌特性也接近实际值；选取K2值趋于稳定的采样频率，可提高计算效率的同时又能保证混沌程度的真实性。

参考文献：

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