压电声子晶体能带结构的有限元方法模拟*

吴吉恩，胡瑞霞，邓 科

(吉首大学物理与机电工程学院，湖南 吉首 416000)

压电材料是能实现机械能和电能相互转换的晶体材料.自1880年法国物理学家居里兄弟发现了第一种压电材料——石英晶体后，压电材料得到了长足的发展[1].压电材料是人类声学活动中不可缺少的元器件，目前已被广泛应用于各种超声换能器.压电材料的工作方式包括主动控制和被动控制，这2种工作方式都需要给压电材料配置电路和电学器件.主动控制，需要电路中有电源/信号激励源，为系统的运作提供能量/信号，以便压电材料将电信号转换成其他信号(比如声信号).被动控制不需要电源/信号源，其工作原理类似于传感器.在处于被动控制方式的系统中，由于电路起到了分流耗散的作用，所以被动控制又被称为分流电路控制，并被应用于压电声子晶体中[2-10].在外力的作用下，压电材料因形变而产生电荷.如果在压电材料电极的两端接上分流电路，那么这些电荷将通过分流电路发生相互作用，从而把机械能转化成热能耗散掉.传统声子晶体器件的工作频率或声学特性是固定的，因此，近年来人们开始致力于带隙等声学性质可调的声子晶体的研究，如压电声子晶体，因其声学性质可通过外接分流电路来调节而备受人们青睐.众所周知，能带结构计算对研究压电声子晶体的特性至关重要，因此笔者以一维杆状压电声子晶体为例，拟基于有限元软件COMSOL Multiphysics对压电声子晶体的能带结构进行计算，并讨论压电材料中分流电路对能带的影响.

1 杆状压电声子晶体的能带结构

笔者设计了一种压电声子晶体杆，其单胞由压电材料和钢组成.所用的压电材料为压电陶瓷(PZT4)，晶格常数a=10 mm，杆半径r=2 mm，在一个单胞中压电陶瓷和钢的长度均为2 mm，晶体杆和压电陶瓷的极化方向均沿z轴.由于压电声子晶体杆的结构在z轴方向是周期性排布的，因此在模拟实验中沿z轴方向采用周期性边界条件，而其在余方向则采用自由边界条件.压电声子晶体单胞的结构示意如图1所示，其中深灰色代表压电陶瓷，浅灰色代表钢柱.其中:图1a为开路状态；图1b压电陶瓷分流电路中只有电容；图1c分流电路处于短路状态.

图1 压电声子晶体单胞结构示意Fig. 1 Schematic Model of Piezoelectric Phonon Crystal Unit Cell

2 模型建立与能带计算

图1所示的杆状声子晶体为三维结构，需要建立三维模型来计算其能带结构.在有限元模拟中，三维模型的计算不仅耗时多而且所需内存非常大，这给研究工作带来诸多不便.注意到杆状压电声子晶体的几何结构及其声学性质均关于中心轴(z轴)对称，因此只需建立一个二维轴对称模型来计算即可.具体建模过程如下：在COMSOL 软件中建立一个二维轴对称模型，然后选择“结构力学”模块中的“压电设备”分模块，以及该模块下的 “特征频率”作为研究对象；在“全局定义”中添加参数，输入声子晶体的结构尺寸并定义波矢参数用于能带扫描；在“组件1”中的“定义”项里设置材料坐标系与空间坐标系的关系(比如，“材料xz平面系统”表示要研究的是材料的xz平面，而COMSOL中默认的研究平面是rz平面，因此需要将所研究的材料从xz平面投影到rz平面)；在“几何1”中建立单胞结构图，并在“材料”中添加压电陶瓷PZT4；设置线弹性材料，选择“压力波和剪切波速度”，输入材料参数(对于该模型，纵波波速cp1=6 100 m/s，横波波速cp2=3 300 m/s，质量密度ρ=7 600 kg/m3)；添加周期性边界条件，周期类型选Floquet周期，并且设kF在z方向的波矢为kz(2π/a).

模型设置好后，引入静电并设置电路.静电只对压电陶瓷起作用，因此“静电”模块只需选择压电陶瓷所在区域即可(系统默认选择的区域是所有区域，这时需要手动更改).当压电陶瓷没有外接分流电路时，该模块无需手动调节其他选项.当压电陶瓷有外界分流电路时，需要添加边界“终端”和边界“接地”，即分别选中z方向的2条边(这2条边相当于薄电极).设置“终端类型”为“电路”，这里的终端作为与电路模块链接的桥梁.“显示假设方程”为

(1)

(1)式说明终端(电极)以Q0的形式作用于电路，即终端作为电源.Q0与电位移有关，电位移与应力应变有关，所以Q0与弹性波有关.“电路”模块只在压电陶瓷连接有分流电路的时候被启用.当启用“电路”模块时，需要在“组件1”中添加物理场，并选中“AC/DC”中的“电路”模块.电路模块无需选择材料结构或新建电路模型，所有的电学器件的连接均由节点完成.把电路模块中的“方程形式”由“研究控制”改为“稳态”，初始节点改为“接地节点1”(表示接地点，默认的节点名称为0)，添加“外部I终端”(默认的节点名称为1)，并将其“电势”设置为“终端电压”，这样就将静电模块与电路模块连接了起来，节点1相当于接有终端的电极.根据电路知识可知，节点0相当于接地的电极.因此，在节点0和节点1之间添加一个电容，就相当于给压电陶瓷2个电极之间接了一个电容.接下来添加一个“电容器”，其节点名称默认为0和1，多物理场的设置无需改动，网络格单元尺寸设置为特别细化.

3 分流电路对能带的影响

当压电声子晶体没有外接分流电路(图1a)时，能带计算无需利用电路模块和静电模块中的终端和接地，因此将其禁用，计算结果如图2a所示.从图2a可以看出，压电声子晶体在布里渊区边界产生了Bragg带隙.这是由压电陶瓷和钢的声学性质的差异引起的.

当压电声子晶体接上电容(图1b)时，能带计算需要利用电路模块和静电模块中的终端和接地，因此将其启用.需要特别注意的是，由于禁用静电模块中的终端会导致电路模块中的外部I终端丢失电势信息，所以重新启用后还需重新添加电势为“终端电压”.当电容设置为20 pF时，能带计算结果如图2b所示.与图2a相比，图2b中所示的带隙已变宽，原因可参考文献[2].

当压电声子晶体的外接分流电路为短路状态(图1c)时，压电陶瓷2个电极之间的电势一致，可以用电路模块使电容足够大或短路，也可以不用电路模块，只要保证2个电极的电势/电学条件一致即可.此时能带计算的结果如图2c所示.

图2 压电声子晶体能带Fig. 2 Band Structures of Piezoelectric Photonic Crystals

4 能带计算中常见问题

在能带计算过程中可能会遇到各种各样的问题，在此列举几个典型的问题/报错，并给出相应的解决办法.网格单元尺寸设置为较细化时，接上电容的压电声子晶体的能带如图3a所示.从图3a可以看出，在低频时能带计算结果显得毫无规律.解决方法是将网格精细化.在模型较大的情况下，只针对电极(线)作精细化处理即可.图3b提示电路连接错误，解决方法是正确连接电路.图3c提示扫描错误，解决方法是将“步骤1：特征频率”中的“特征频率搜索范围”设为大于0的值.图3d提示电路不能正常工作，解决方法是将电路模块的“方程形式”由“研究控制”变更为“稳态”或其他形式.

图3 计算压电声子晶体能带结构时的常见问题Fig. 3 Common Errors in Band Structure Calculation for Piezoelectric Photonic Crystals

参考文献：

[1] 栾桂冬,张金铎,王仁乾.压电换能器和换能器阵[M].北京:北京大学出版社,2005.

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[5] ZHOU H,LAN M.Band Gaps off in-Plane Waves Propagating Vertically Through Piezoelectric Phononic Crystal with Initial Stresses[J].International Journal of Control and Automation,2016,9(6):209-220.

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[7] ZHOU H,LAN M.Band Gaps of SH Wave Propagating Through Elastic/PE/PM Phonon Crystal[J].International Journal of Control and Automation,2016,9(8):281-290.

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[10] HOU Z,ASSOUAR B M.Tunable Solid Acoustic Metamaterial with Negative Elastic Modulus[J].Applied Physics Letters,2015,106(25):040 802.