直观 转化 通法

孙民政

摘 要 在函数问题的研究过程中，数形结合的思想非常重要，这一点大家都有共识，但是实际教学中，如何分析问题，合理转化，找到这类问题的通性通法是关键，本文通过一道正反比例函数的面积问题对此进行说明。

关键词 数形结合；转化；通法

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）01-0173-01

随着现代通讯手段的日益发达，信息传播的速度越来越快，信息的保有量也呈几何级数的爆发式增长，在数学教育领域，各类教辅书、试卷集、练习册、题库……可谓题海无涯，无边无际。作为教师的我们，难道非要把学生带入题海，才能提高他们的学习成绩和数学能力吗？答案显然是否定的。数学解题不在量多，而在求精，要能启迪学生思维，探寻数学的本源，培养分析问题，转化问题的思维方法，总结归纳解决各类问题的通性通法，做到融会贯通，才是正道。唯有如此，才能真正做到“做一抵十”，才能真正落实“减负增效”的教学要求，才能真正培养出有价值的数学素养。笔者最近正在教授沪教版八上《正反比例函数》，接下来就以一道正、反比例函数应用的面积问题为例，展开分析。

例：如图，直线 （a>0）与双曲线 交于两点，且点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，-2）。

（1）求a，n的值；（2）若双曲线 的上点C的纵坐标为8，求△ABC的面积。

解：（1）把A（4，2）代入 ，得 ，

把A（4，2）代入 ，得 ， ，

把B（n，2）代入 ，得n=-4， ，n=-4

（2）∵C的纵坐标为8， ，∴ 即C（1，8）

解答到这里对绝大多数同学没有什么困难，用的知识就是简单的数形结合和待定系数法，同学们容易理解，计算也基本没问题。因为A、B、C三个点都是在象限内，而且△ABC中没有与坐标轴平行的边，所以接下来求△ABC的面积不少同学开始一筹莫展了。

笔者接下来引导同学思考，观察△ABC的形状象什么三角形？用什么方法可以证明你的猜想呢？这个猜想得证了对求解的结论有帮助吗？于是有了解法一。

解法一：

， ，

， （两点之间距离公式）

这种方法虽然是一种特殊方法，但是它的直观性很强，最容易想到了，这就启示我们对一些“看起来有点像”的特征，不妨先验证之，再运用这种特殊性质解决问题，在直角坐标系中，两点之间距离公式和勾股定理是常用的工具。简言之，“特殊图形直观解”。

倘若图形的特殊性验证不出具有什么性质，这类问题又该如何处理呢？接下来看两种通法——割补法。

解法二：（割法）

如图2，过C点做X轴的垂线，与直线AB交于点D。

把x=1代入 ，得 ，

一般来说，对于悬空三角形，如果能通过三角形与坐标轴的交点将其分割成两个三角形，分别求解，那是最好；如果不能，我们常常过三角形的一个顶点做x轴或y轴的垂線，将三角形分割成两部分，并以分割线为底，两点横坐标（或纵坐标）之差为高，分别求解。

解法三：（补法）

如图3，过A点做x轴的垂线，过B点分别做x轴、y轴的垂线，过C点做y轴的垂线，它们两两相交于G、E、F点。

，

这种方法对于坐标系中复杂的三角形、四边形的面积求解是非常快速有效的，关键点在于正确的找到矩形的四个顶点的坐标，并求出相应线段的长度。当然，如果把△ABC的面积看作是梯形BCFG的面积减去△ABG和△ACF的面积之和也是可以的。简言之，“一般图形通法解”。

题目是做不完，也讲不完的，作为老师，如果我们能够科学归纳，精讲精练，合理变式，通过做一道题，讲清一类问题，做一道题，领会一种方法，那何尝不是教师之幸，学生之福呢？