一种基于坐标图解法的机械尺寸精度设计方法*

李逸飞,李逸翔,卢继霞 ,翟国栋

(1.中国矿业大学(北京) 机械工程系，北京　100083; 2.东北大学 工程力学系，辽宁 沈阳　110819)

0　引　言

机械零件的互换性可以用尺寸公差和配合公差来表示即尺寸公差带和配合公差带。提出了一种新方法，将尺寸公差带与配合公差带在坐标系内统一进行描述和分析设计。在实际生产中，孔轴的测得加工尺寸偏差往往会在某些因素的影响下遵循着一定的规律来分布[1-2]。如在一定条件下对同一被测零件进行重复测量时，测量误差会呈现正态分布规律；在进行机械加工过程中发生了车刀磨损，零件的实际偏差遵循均与分布；加工时零件的轴线发生了偏移，这时零件尺寸偏差符合偏心分布等。除此，在其他不同条件的共同作用下，零件的实际尺寸偏差也会相应地遵循一定的分布规律。坐标图解法将尺寸差带与配合公差带在坐标系内进行表达，使得对公差指标的描述和分析设计变得清晰，并能方便地进行精度设计。

1　坐标图解

坐标图解法解决了这一点，将尺寸差带与配合公差带在坐标系内进行表达，使得对公差指标的描述和分析设计变得清晰，并能方便地进行精度设计。

1.1　机械尺寸精度基本公式

根据国家标准[3]，设：孔的上、下极限尺寸分别为Dmax、Dmin，上、下为极限偏差分别为ES、EI，公称尺寸为D；轴的上、下极限尺寸分别为dmax、dmin，上、下为极限偏差分别为es、ei，公称尺寸为d；且D=d；最大间隙Xmax，最大过盈Ymax，最小间隙Xmin，最小过盈Ymin；配合公差为Tf。

ES=Dmax-D，EI=Dmin-D

es=dmax-d，ei=dmin-d

孔的公差：

Th=|Dmax-Dmin|=|ES-EI|

轴的公差：

Ts=|dmax-dmin|=|es-ei|

配合公差：

Tf=Th+Ts

1.2　用坐标系描述公差带

设Di、di分别为孔轴包含偏差的任意尺寸，Y孔，X轴分别表示以零线为基准的孔、轴尺寸偏差。对于尺寸精度指标，孔的尺寸减去轴的尺寸的量值与配合公差有关，是我们关心的，所以设Z=Di-di=Y孔-X轴，即Y孔=X轴+Z。由此，联想到直线方程，其中Z为纵截距，如图1所示，可以分别根据孔轴的公差确定其对应Y孔、X轴坐标轴的取值范围(公差带)，画出对应的实边矩形可行域，可行域内每一个的点坐标(X轴,Y孔)都可以对应求出一个Z值，即落在某一条斜率为1的直线上。而Z值相同的点在同一条斜率为1的直线上，对于这样的一系列点，做出过它们的直线，交于纵轴的(0,Z)。

图1　尺寸公差带图与坐标图解的关系

Y孔=X轴+Z是一条纵截距可变的直线，且必须与可行域有非空交集，即与实边矩形有交点，并且可以取到极限位置(与矩形交点数为1的位置)；令上、下极限截距分别为Z1、Z2，则|Z1|、|Z2|分别代表孔轴配合的最大间隙量和最大过盈量，而Z的正号代表是间隙配合，负号则代表过盈配合，如图2，[Z2,Z1]这个区间区域对应的就是配合公差带图上的配合公差带，配合公差Tf=Z1-Z2，即线段Z1Z2的长度。

图2　配合公差带图与坐标图解的关系

从图3可以进一步看出，由于平行四边形几何关系，|A1B|=|Z1M|，|BN|=|Z2M|，|Z1Z2|=|A1B|+|BN|，又因为等腰直角三角形两直角边相等|BN|=|A2B|，所以可由几何关系得出Tf=|Z1Z2|=|A1B|+|A2B|。综上，从几何图形上可证明出配合公差与孔、轴公差的数值关系式。

图3　过渡配合

如图3可通过Z1、Z2看出是过渡配合的情况，同理，可得出间隙配合及过盈配合的情况，如图4、5。

图4　间隙配合　　　　　　图5　过盈配合

如果想要得到同一配合公差带(配合性质相同)，则以所给定的极限间隙或极限过盈对应出纵截距Z1、Z2，并画出两条斜率为1的直线，如图5，所有矩形在两直线之间分布且与两直线分别有一个交点，其对应的轴、孔都为相同的配合性质，即具有相同的配合公差带，从而得出相同配合公差带的一系列理想的孔轴配合，在此简称理想同配合系，以下部分亦采用此简称。

对于基孔制和基轴制，如图7、8所示。当基孔制时，矩形底边与横坐标轴重合，又因为矩形的右下顶点在直线l2上，所以右下顶点唯一确定。当为基轴制时，矩形右边与纵坐标轴重合，同理左上顶点唯一确定。

图6　理想同配合系　　　　　图7　基孔制配合

图8　基轴制配合系

1.3　实例分析

接下来对一些例子进行简要分析(查表过程略)。

实例1[4]：将配合Φ8H6/f5从基孔制换算成基轴制原配合作图，如图9(a)换算成基轴制后作图，如图9(b)。

图9　例1

实例2[4]：设孔轴配合，公称尺寸为Φ60 mm，要求Xmax=+50 μm，Ymax=-32 μm，试确定其配合公差代号。

由于最大过盈和最大间隙已知，由此可以确定一个理想同配合系，如图10，限制实边矩形的形状、位置范围。

对于基准制的选择[5]，一般情况下，都选用基孔制，以下情况选用基轴制：

(1) 精度要求不高，如农业、纺织、建筑机械；

(2) 基本尺寸一致的轴在不同位置装配松紧程度不同的孔；

(3) 某些要求基轴制的标准件。

所以此处没有其他要求，并选择如图11的理想基孔制情况。依照工艺等价性原则，按同级配合确定公差等级，Tf=|Z1Z2|=Z1-Z2=82 μm，Tf/2=41 μm ，由查表暂时确定孔为IT8(即H8)，轴为IT7，由基孔制和孔的公差等级得Y1=0，Y2=+46 μm，如图12(a)所示。

并可以推出：

Ts=Tf-Th=(Z1-Z2)-(Y1-Y2)

=(Z1-Y1)+(Y2-Z2)

图10　例2理想同配合系

图11　例2基孔制配合系

易看出其各括号项与纵轴上相对应的线段，得Ts=36 μm，由此可以得出以基孔制和理想同配合系为限制条件的实边矩形区域，但是根据实际查表不存在该标准，所以只要保证实际标准所能对应的实边矩形区域是该理想区域的子集即可，如图12(b)所示。但是经查表得，依旧没有符合要求的轴标准，所以将孔的公差等级提高为IT7，Th=30 μm，Ts=52 μm，得图12(c)。可再进行查表，确定轴的相应标准，此处就不再赘述。

图12　例2

2　基于该方法的孔轴任意尺寸偏差概率分布描述及其优势

孔轴的可装配性与孔轴的位移同孔轴实际间隙有关，为保证装配要求,轴孔间要规定间隙，所以应该考虑到孔轴尺寸分散性特征，不但要限定它们的变动量,而且还要限定它的概率分布特性。这能使产品获得最佳技术性经济性,又能保证质量[6-7]。

在机械零件加工过程中，常见的有以下分布规律：正态分布, 均匀分布, 三角形分布, 偏心分布[8]、贝塔分布[9]等。但这些都是将实际存在的分布规律进行近似地归纳分类，并不是完全地与实际情况吻合，这也就会造成在对公差进行概率描述时进一步的产生误差。这里，借助Matlab与前述方法相结合，能很好地解决这个问题。

2.1　对孔轴尺寸分布及配合情况的概率描述

y1=f1(Y孔)f1(Y孔|a,b,c)

(1)

y2=f2(X轴)=f2(X轴|μσ)

(2)

式中：a=-20，为孔加工尺寸的下极限偏差；b=-4，为孔加工尺寸的上极限偏差；c=-9为孔的最大偏向尺寸偏差；μ=-5.5，为轴加工尺寸偏差的平均值；σ=11/6，为轴加工尺寸偏差的标准差。

图13　孔轴尺寸偏差的概率密度函数

则根据概率方面的知识[10]，孔、轴加工尺寸偏差的联合概率密度函数如下：

y=f(Y孔，X轴)=f(Y孔)·f(X轴)

(3)

孔轴尺寸偏差分布的联合概率密度图像如图14所示，图15为可行域的图解表示图。

图14　孔轴尺寸偏差联合概率密度函数图像

对对应配合类型可行域内的联合概率密度函数进行二重积分，得到该配合类型的概率为：

(4)

式中：i=1,2分别对应Z>0和Z<0即间隙配合与过盈配合。按照该方法描述，可知当尺寸偏差数据点落在直线Y轴=X孔上面的阴影部分时Z>0，属于间隙配合；当尺寸偏差数据点落在直线Y轴=X孔下方的阴影部分时Z<0，属于过盈配合，对S1进行二重积分，得到间隙配合的概率，再用间隙配合与过盈配合概率和为1求出过盈配合概率：

(5)

P过盈=1-P间隙

(6)

图15　可行域的图解表示

2.2　结果与讨论

求出的结果为P间隙=6.42%，P过盈=93.58%。于是可知，孔、轴尺寸偏差数据在分别符合图13分布时，它们产生间隙配合的概率是6.42%，过盈配合的概率是93.58%。从上面的说明论述可看出，当孔轴实际加工尺寸数据的概率密度曲线已知时，不论曲线是什么类型，都可用数值的方法方便地获得孔轴尺寸的联合概率密度函数，再利用Matlab 对各配合类型对应的可行域进行二重数值积分，从而得到对应的概率。

3　结　论

基于坐标图解的机械尺寸精度设计方法将尺寸公差带和配合公差带在直角坐标系中得以表示，利用斜率为1的直线通过坐标系和几何关系将各公差指标联系起来，并可以结合国家标准对孔轴尺寸公差带和配合公差带进行分析及设计，清晰直观，是一种可行的思路。同时，该方法在坐标系中规定了可行域，可通过概率的方法来对符合任意分布的孔轴尺寸公差概率密度函数进行处理，得到联合概率密度函数，并对间隙配合与过盈配合对应的可行域进行二重数值积分，得到对应的概率，该方法在描述孔轴的配合情况方面，有着简便直观的优点。