RBF-DE的MREIT图像重建算法

荆会敏,闫丹丹,刘　海

(中国计量大学 信息工程学院,浙江 杭州 310018)

电阻抗成像技术是生物医学领域的新一代有效且无损功能成像技术,此技术检测某组织是否发生病变(如肺癌)是根据同一组织在不同的状态下介电特性的不同,获得相关生理病理的信息从而得到诊断.目前,MREIT受到了国际生物医学界极大关注,MREIT由电阻抗成像(electrical impedance tomography,EIT)与电流密度成像(current density imaging, CDI)相结合,它可以穿透低电导生物的表层组织(如胸部脂肪,颅骨等),获得更多深层生物组织内部的信息,更有效的在生物组织未发生器质病变之前区分正常生物组织和病变生物组织,不仅提高了对病变位置判断的精确性,还提高生物的存活率.

在MREIT研究中求生物导体内部的电压分布或磁感强度B的分布称为MREIT的正问题,利用算法重构生物导体内部有效的阻抗分布称为MREIT的逆问题[1],正问题的求解是逆问题求解的必要条件和判断重构算法优劣的准则.MREIT逆问题的重构算法根据获取信息的方式不同,有基于电流密度分布的电阻抗重构算法[2-3]和基于磁感应强度测量值的电阻抗重构算法[4-6].其中基于电流密度分布的算法获取的信息量相对丰富,成像精度高,空间分辨率高,但此类算法需要3个方向的磁感应强度,即需对物体进行三维旋转,在实际情况中是难以实现的.而基于磁感应强度分量的成像算法仅利用单个方向磁感应强度的测量值就可以重建物体内部电导率分布,从而使得MRI系统中旋转的难题可以有效的避免,提高了在临床医学的应用可能.目前,国内外研究者们提出了很多基于磁感应强度的经典的电阻抗图像重构算法,并且近年来研究者们逐渐将一些智能算法应用到图像重构中,如遗传算法、神经网络算法、粒子群算法等,其中遗传算法和粒子群算法的参数较多,不同的参数设置对最终结果影响也比较大,因此实际使用中需要不断调整参数,从而加大了算法使用成本.微分进化算法作为一种鲁棒、简单的全局优化进化算法,只有两个参数要调整,更容易使用,并且收敛速度快,在MREIT中表现出了良好的性能,得到了很多研究者的关注,目前也提出了很多微分进化思想的图像重构算法[5-6].但这些算法普遍使用调用正问题的方式进行种群的进化,从而使得算法的效率较低.

本文提出了一种RBF神经网络和微分进化思想相结合的MREIT算法.该算法仅利用单个方向磁感应强度的测量值对物体内部电导率分布进行重建,相对于DE-MREIT的类似算法不用每次评价目标函数时调用正问题,在误差允许下大大提高成像效率,并在二维、三维肺部仿真模型上进行的仿真研究验证了该算法的可行性.

1　正问题描述

给定物体内电导率的分布与边界条件,求物体内磁感应强度分布和电压分布称为MREIT的正问题.MREIT正问题的Poisson方程描述为[6]:

▽·(σ(r)▽V(r))=0,r∈Ω,

(1)

(2)

其中:V(r)为导体内电势分布;σ(r)为导体内的电导率;Ω为所要成像的3维物体;n为方向向量.得到导体内电势分布V(r)后可以利用下述公式得到电场强度E和电流密度J:

E=-▽V,

(3)

J=σE.

(4)

根据Biot-Savat定律,可求得导体内的磁感应强度分布:

(5)

式(5)中:r和r′分别为Ω内的测量点矢量和源点矢量;μ0为真空磁导率;B(r)为测量点的磁感应强度;J(r′)为产生磁感应强度点的电流密度分布;V′为导体体积.

2　MREIT的逆问题

MREIT的逆问题为给定物体内电流密度分布或磁感应强度分布,求解物体内电阻率分布.本文将通过径向基神经网络结合微分进化算法求解电阻率.

2.1　RBF算法

RBF神经网络是一种三层前向型神经网络[7-8],包含了一个输入层、一个隐层和一个输出层,其结构如图1.

图1　RBF神经网络结构Figure 1　RBF neural network structure

从正问题描述可知物体内的电阻率分布与Bz*(“测量”得到的单方向磁感应强度)和Bz(计算得到的单方向磁感应强度)之间的不匹配函数值的关系十分复杂,并且是严重非线性的.利用解析方法对两者关系建立函数关系式非常困难,因此可将此系统看做一个“黑箱”,利用RBF神经网络对输入输出之间的数个采样点值进行拟合并建立输入输出函数关系式.本研究中,肺部不同组织的电阻率值作为系统的输入参数.人体肺部被划为四个不同的组织,肌肉、左肺、右肺、癌变,将左肺和右肺看为同一组织,此时系统的输入则为一个具有三个分量的矢量ρ=[ρmuscle,ρlung,ρcancer].输出则由Bz*与Bz之间不匹配程度的目标函数表示,通常选为计算值与“测量”值之间残差的函数,最小二乘法是其中较为简单的一种,公式如下:

(6)

式(6)中:(·)T表示矩阵的转置.

2.2　DE算法

基于种群进化的全局启发式DE算法,基本思想是:随机产生初始种群,由父代个体间的变异操作产生变异个体,父代个体和子代个体之间按一定概率进行交叉操作,生成试验个体,试验个体与父代个体之间依据目标函数值的大小进行贪婪选择操作[9],保留较优的个体,组成下一代种群.

2.3　RBF-DE算法

综合RBF及DE算法,提出RBF-DE算法,步骤如下:

1)在肺部的可行域内随机产生规模为1 000组的电阻值作为RBF神经网络的输入值,并通过调用正问题求解,得到相对应的目标函数值f(ρ),构成规模为1 000的训练数据;

2)利用输入输出值对RBF神经网络进行训练,拟合出输入输出之间的函数关系F(ρ);

3)种群初始化,采用随机函数产生D维和每维NP个个体初始种群xi,G,i=1,2…NP,其中i表示种群个体序列号,G表示种群进化代数,NP表示种群规模,在最小化中保持不变.

4)对当前代数的种群个体成员进行变异和交叉操作.对第G代种群中的每个目标向量xi,G,一种基本的变异策略方程为

νi,G+1=xr1,G+F·(xr2,G-xr3,G).

(7)

其中:r1≠r2≠r3≠i,r1,r2,r3∈[1,NP],F是缩放因子.交叉操作是将变异操作得到的变异向量vi,G+1和当前目标向量xi,G按某种规则进行杂交得到实验向量ui,G+1,交叉操作过程如下:

(8)

式(8)中:i=1,2,…,NP,j=1,2,…,D,randb(j)是(0,1)之间均匀分布的随机数,rnbr(i)是[1,D]之间随机选择的整数序列,CR是交叉因数.

5)DE算法按照贪婪准则(比较当前种群个体成员与父代个体成员),决定当前种群个体成员是否成为下一代个体成员.对实验向量和相应目标向量进行目标函数评价,然后根据式(9)决定是否将实验向量确定为下一代种群个体成员.

(9)

式(9)中:f(·)表示其目标函数值.

另外,值得注意的是在这一步中,传统的DE算法在进行目标函数评价时普遍采用求解正问题的形式,这将耗费大量的时间；而在本文中,使用之前步骤中训练的RBF神经网络代替正问题求解过程,将种群个体作为RBF神经网络的输入,得到目标函数f(ρ),从而大大的减小了算法的时间成本.

6)当目标函数低于一定阈值或达到最大进化代数时程序终止,否则进行步骤3;算法步骤流程如图2.

图2　算法流程图Figure 2　Algorithm flow chart

3　实验结果与分析

3.1　仿真模型建立

本文在ANSYS10.0等软件平台上通过有限元法对肺部建模,从宏观上讲,将各组织的电导率看成是均质分布,每层电阻率均为各向同性,采用肌肉∶肺部∶病变=1∶6.73∶10[10],病变组织在左肺上,已知某一组织的电导率,然后可以根据比例关系求出其他几种.对于二维肺部模型采用三角形对模型进行有限元网格剖分,得到共966个单元,1 993个节点,而对于三维肺部模型采用四面体对模型进行有限元网格剖分,得到共16 004个单元,21 672个节点,如图3(a)、(b).

图3　肺部模型剖分图Figure 3　Lung model profile

3.2　结果分析

在利用RBF神经网络和DE进行MREIT重建的仿真实验中,重建过程的约束条件为:电阻率值的下限和上限分别为真实电阻率分布的0.9倍和1.1倍.实验采用了Matlab的神经网络工具箱对RBF神经网络进行训练.DE的控制参数为种群大小NP=128,所求变量个数D=3,比例因数F=0.8,交叉因数CR=0.9,最大进化代数g=130,阈值VTR(Value To Reach)设置为10-6.为了定量评价重建质量,在仿真实验中引入误差总和(Total Error,TE)准则,定义为

(10)

其中:Est代表重构电阻率值,True代表真实电阻率值.m为电阻率值分布的自由度.

在二维和三维模型上,对肺部浅层和深层部位病变进行仿真,均得到了成功的重建图像,如表1.

表1　肺部电阻抗真实分布图和重建阻抗分布

仿真实验的进化过程如图4,图中显示了目标函数值随着迭代次数的增加的变化曲线,其中横坐标为迭代次数,纵坐标为目标函数值.图中虚线代表基本的DE算法,实线代表RBF-DE算法,从图中可以看出,RBF-DE算法在二维与三维模型仿真实验中都能快速收敛,与传统DE算法相比收敛速度略快.

图4　RBF-DE算法与DE算法的比较结果Figure 4　Comparison of RBF-DE algorithm and DE algorithm

利用RBF-DE算法在二维肺部模型上进行阻抗图像重建与基本的DE算法进行比较,比较结果见表2.从表中可以看出,基本DE算法和RBF-DE算法都可收敛到高质量的重建电阻率参数值.RBF-DE算法的误差总和比基本DE算法高一些,由于RBF-DE算法中对目标函数评价采用的神经网络拟合的肺部仿真模型可行域电阻值和仿真计算磁场强度与真实电磁场强度之间的不匹配目标函数建立非线性模型,本身就存在一定的误差；而DE算法直接调用正问题评价目标函数,理论上不存在这一误差,因此RBF-DE算法的误差总和要大,但仍在允许范围内.在时间成本上,RBF-DE算法相比DE算法小很多.由于DE算法在每次进化时都需要对种群中的所有个体通过调用正问题进行评价,以确定下一代的种群个体成员,进行一次正问题评价大约需要1.3 s,每次进化须评价30次目标函数,需要大约39 s.而RBF-DE算法在对种群中所有个体进行评价时可通过RBF网络建立的输入(种群个体)输出(目标函数)关系快速得到,时间消耗主要在神经网络的建立,即由初始值调用正问题得到神经网络训练样本,所以RBF-DE算法不仅能像DE算法一样得到满意的重构结果而且缩短了计算时间.

表2　二维电阻率重建仿真结果

表3　三维电阻率重建仿真结果

三维肺部模型相对于二维更加复杂,两种算法的重构结果如表3.进行一次正问题评价大约需要22 s,每次进化评价30次目标函数,需要大约660 s,传统的DE算法需要对种群中每个个体成员进行评价,这使得DE算法在三维模型上需要很长的运行时间,RBF-DE算法在三维肺部模型上的可行性更加突出了该算法相对于DE算法的高效性.

4　结　论

微分进化算法作为一种鲁棒、简单的全局优化进化算法,该算法的仿真结果显示了它在MREIT中的良好性能,不管在二维仿真肺部模型还是在三维仿真肺部模型,均能逼近到全局最优点,且成像精度很高,然而微分进化算法每次进化需要对种群中所有个体进行评价(调用正问题),因此每进化一次需要较长时间,尤其是在复杂的三维模型仿真中,计算时间更长.为了改进DE-MREIT算法计算时间过长的问题,本文提出了一种基于RBF神经网络和微分进化思想的MREIT算法,采用RBF神经网络构建电阻率与目标函数的非线性函数关系来代替传统的调用正问题进行个体评价,从而减少了对正问题的调用次数,在误差允许的前提下大大提高了算法效率.本论文中仅在肺部仿真模型上进行了实验验证,下一步我们将在真实肺部模型上进行实验,真实肺部模型相较于仿真模型将更加复杂,验证算法在真实肺部模型上的可行性具有重要的意义.